Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс


Около остроугольного треугольника ABC, где ABC=2ACB, описана окружность с центром O. Пусть K — точка пересечения AO и BC, а точка O1 — центр описанной окружности треугольника ACK. Докажите, что площадь четырехугольника AKCO1 равна площади треугольника ABC. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
8 года 3 месяца назад #

Проведем биссектрису BN где NAC , тогда учитывая то что ABC=2ACB получим что CNB -равнобедренный , значит CN=BN , положим так же что BN пересекает описанную окружность около данного треугольника в точке M тогда BCA=BMC=MBA то есть ΔABM равнобедренный так же равнобедренный и ΔCMA  (CM=AM) так как BN - биссектриса , BCA=CAM значит AM||BC , так как AO радиус данной окружности , то получаем что четырехугольник BKMA - ромб , значит BMAK как диагонали ромба. Тогда CKM=2BCA , но KCM=2BCA , значит CM=AM=KM то есть это радиусы окружности описанной около треугольника CKA , откуда O1 есть точка M откуда CO1BA - равнобедренная трапеция . Найдем что определили AB=BK=KM=AO1 так как ромб и точка M есть точка O1 , проведем высоту равной по длине H из вершины A получим SABC=BCH2 тогда так как CO1BA - равнобедренная трапеция SAKCO1=SABCO1SKAB=(BC+AB)H2ABH2=BCH2 , значит SABC=SAKCO1 .

  0
3 года 10 месяца назад #

Можно еще легче: Проведем биссектрису BN где NAC, пусть AP - диаметр окружности, описанной около ABC, тогда CBP=902α=CAP, где ABC=2α. Так как BAC=1803α, то AOBN, так как OAB=1803α90+2α=90α, а ABN=α. Итак, поскольку BN - биссектриса и высота для ABK, то AB=BK. Теперь по теореме синусов:

1) Для ACK имеем ACsin(90+α)=2R, R=ACsin(90+α)2=AC2cosα;

2) Для ABC имеем, что ACsin2α=ABsinα,AB=ACsinαsin2α=AC2cosα.

Отсюда имеем, что R=O1A=O1C=AB=BK. Проведем O1K, тогда O1ABK - ромб, KO1A=2α,CO1K=1802O1KC=1802(180180+2α)=1804α, тогда CO1A=CO1K+KO1A=1802α, то есть sinCO1A=sinABK. SO1AC=12RRsin(1802α)=12ABBKsin2α=SABK, SAKCO1=SAO1C+SAKC=SABK+SAKC

пред. Правка 2   0
3 года 10 месяца назад #