Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Проведем биссектрису BN где N∈AC , тогда учитывая то что ∠ABC=2∠ACB получим что CNB -равнобедренный , значит CN=BN , положим так же что BN пересекает описанную окружность около данного треугольника в точке M тогда ∠BCA=∠BMC=∠MBA то есть ΔABM равнобедренный так же равнобедренный и ΔCMA (CM=AM) так как BN - биссектриса , ∠BCA=∠CAM значит AM||BC , так как AO радиус данной окружности , то получаем что четырехугольник BKMA - ромб , значит BM⊥AK как диагонали ромба. Тогда ∠CKM=2∠BCA , но ∠KCM=2∠BCA , значит CM=AM=KM то есть это радиусы окружности описанной около треугольника CKA , откуда O1 есть точка M откуда CO1BA - равнобедренная трапеция . Найдем что определили AB=BK=KM=AO1 так как ромб и точка M есть точка O1 , проведем высоту равной по длине H из вершины A получим SABC=BC⋅H2 тогда так как CO1BA - равнобедренная трапеция SAKCO1=SABCO1−SKAB=(BC+AB)⋅H2−AB⋅H2=BC⋅H2 , значит SABC=SAKCO1 .
Можно еще легче: Проведем биссектрису BN где N∈AC, пусть AP - диаметр окружности, описанной около △ABC, тогда ∠CBP=90−2α=∠CAP, где ∠ABC=2α. Так как ∠BAC=180−3α, то AO⊥BN, так как ∠OAB=180−3α−90+2α=90−α, а ∠ABN=α. Итак, поскольку BN - биссектриса и высота для △ABK, то AB=BK. Теперь по теореме синусов:
1) Для △ACK имеем ACsin(90+α)=2R, R=ACsin(90+α)2=AC2cosα;
2) Для △ABC имеем, что ACsin2α=ABsinα,AB=AC⋅sinαsin2α=AC2cosα.
Отсюда имеем, что R=O1A=O1C=AB=BK. Проведем O1K, тогда O1ABK - ромб, ∠KO1A=2α,∠CO1K=180−2⋅∠O1KC=180−2⋅(180−180+2α)=180−4α, тогда ∠CO1A=∠CO1K+∠KO1A=180−2α, то есть sin∠CO1A=sin∠ABK. SO1AC=12⋅R⋅R⋅sin(180−2α)=12⋅AB⋅BK⋅sin2α=SABK, ⇒SAKCO1=SAO1C+SAKC=SABK+SAKC
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.