Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Дөңгелек пішіңді цирк аренасы $n$ әртүрлі прожекторлармен толық жарықтандырылады. Әр прожектор бір дөңес фигураны жарықтандырады. Егер кез келген бір прожекторды өшіріп тастасақ, арена бұрынғыдай толық жарықтандырылып тұра береді, ал кез келген екеуін өшірсек, онда арена толық жарықтандырылмай қалады. Қандай $n$-нің мәндері үшін бұл мүмкін?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Тізбекте ${{a}_{1}}=1$, ${{a}_{2}}=2$ және $n=2,3,\ldots $ үшін ${{a}_{n+1}}=\dfrac{{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}+1}{{{a}_{n-1}}}$. Олай болса, әрбір $n\ge 3$ үшін ${{a}_{n}} > \sqrt{2n}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Сүйірбүрышты $ABC$ үшбұрышында $D$ нүктесі — $C$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны, ал $M$ — $AB$ қабырғасының ортасы. $M$ нүктесі арқылы өтетін түзу $CA$ және $CB$ сәулелерін сәйкес $K$ және $L$ нүктелерінде $CK=CL$ болатындай етіп қияды. Енді $S$ арқылы $SKL$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрірін белгілейік. Онда $SD=SM$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Өзара жай оң бүтін $a$ және $b$ сандары берілген. Егер бүтін сан оң бүтін $x,y$ сандарының көмегімен $ax+by$ түрінде жазылса, онда оны таныс, ал жазылмайтын болса бөтен сан деп атаймыз. Таныс сандар мен бөтен сандардың нақты сандар түзуінің бір нүктесіне карағанда симметриялы орналасқанын дәлелде.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Қабаттаса жатқан бірдей екі шахмат тақтасының ($8\times 8$ тақта), центрлері ортақ, және біреуі екіншісіне қатысты центрді айнала $45{}^\circ $-қа бұрылған. Егер әрбір шаршының ауданы 1-ге тең болса, қара шаршылардың қиылысуларының аудандарыньң қосындысын тап.
комментарий/решение

Есеп №6. Сүйірбүрышты $ABC$ үшбұрышында $\angle ABC=2\angle ACB$ және $O$ — оған сыртгай сызылған шеңбердің центрі. $K$ — $AO$ мен $BC$-ның қиылысу нүктесі, ал ${{O}_{1}}$ нүктесі — $ACK$ үшбұрышына сырттай сызызылған шеңбердің центрі. Онда $AKC{{O}_{1}}$ төртбұрышының ауданы $ABC$ үшбұрышының ауданына тең екенін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Есеп №7. Жазықтықта қабырғаларыньң ұзындықтары $n$-нан аспайтын натурал сан болатын 2004 үшбұрыш берілген. Онда $n$-нің қандай максимал мәні үшін олардың ішінен міндетті түрде:
а) өзара тең екі үшбұрыш табылады;
б) өзара ұқсас екі үшбұрыш табылады?
комментарий/решение

Есеп №8. Бүтін сандардан тұратын $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ тізбегі барлық натурал $n$ үшін ${{a}_{n+2}}=a_{n+1}^{2}+{{a}_{n}}$ қатынасын қанағаттандырады. Онда қандай да бір $m > 1$ натурал саны үшін $a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\ldots +a_{m}^{3}$ саны 2004-ке бөлінетінін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)