Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

Арена цирка, имеющая форму круга, полностью освещается $n$ различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких значениях $n$ это возможно?

Комментарий/решение

Это возможно при любом $n \geq 3$. Впишем в арену правильный $k$-угольник, где $k$ — число различных пар, которые можно составить из $n$ прожекторов, т. е. $k = n(n − 1)/2$. Тогда можно установить взаимно однозначное соответствие между сегментами, отсекаемыми сторонами k-угольника, и парами прожекторов. Пусть каждый прожектор освещает весь $k$-угольник и сегменты, соответствующие парам прожекторов, в которые он входит. Легко проверить, что это освещение обладает требуемыми свойствами.

Книга Прасолова "Задачи по планиметрии"