Республиканская олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

Последовательность $\{a_n\}$ целых чисел удовлетворяет соотношению ${a_{n + 2}} = a_{n + 1}^2 + {a_n}$ для всех натуральных $n$. Докажите, что существует $m > 1$ такое, что $a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3 $ делится на 2004. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Рассмотрим случаи:

$\textbf{Случай №1.}$ Пусть для любого натурального $n$ : $ \quad a_{n}= 0.$ Тогда

$$a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3=0 $$

$\textbf{Случай №2.}$ Пусть $ a_{n+1}\ne 0.$ Домножим обе части равенства на $a_{n+1}$ и получим

$$ a_{n+1}^3=a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}a_n, \qquad \qquad (1)$$

Суммируя от $n=1$ до $n=m-1$, получим

$$a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3=\sum_{n=1}^{m-1}a_{n+1}^3=\sum_{n=1}^{m-1}(a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}a_n)=$$

$$=(a_2a_3-a_2a_1)+(a_3a_4-a_3a_2)+(a_4a_5-a_4a_3)+...+(a_{m}a_{m+1}-a_{m-1}a_m)=a_{m}a_{m+1}-a_2a_1;$$

$$\exists m>1 \quad a_{m}a_{m+1}-a_2a_1\equiv 0, \quad (mod \quad 2004) \qquad (??)$$

$\textbf{Случай №3.}$ Пусть $ a_{n+1}= 0.$ Тогда $a_n=a_{n+2}$.

$$a_2^3 + a_3^3 + \ldots + a_m^3=\begin{cases} \Big[\frac{m}{2}\Big] \cdot a_n^3, \quad \text{если} \quad n=2k\\ \Big (\Big[\frac{m}{2}\Big]+1\Big)\cdot a_n^3 , \quad \text{если} \quad n=2k+1\end{cases}$$

$\textbf{Пример:}$ $\forall t \in \mathbb{Z}: \qquad m =\begin{cases} 4008t \quad \text{если} \quad n=2k\\ 4008(t-1), \quad \text{если} \quad n=2k+1\end{cases}$