Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып


Бүтін сандардан тұратын {an} тізбегі барлық натурал n үшін an+2=a2n+1+an қатынасын қанағаттандырады. Онда қандай да бір m>1 натурал саны үшін a32+a33++a3m саны 2004-ке бөлінетінін дәлелде. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
4 года 9 месяца назад #

Решение: Рассмотрим случаи:

Случай №1. Пусть для любого натурального n : an=0. Тогда

a32+a33++a3m=0

Случай №2. Пусть an+10. Домножим обе части равенства на an+1 и получим

a3n+1=an+1an+2an+1an,(1)

Суммируя от n=1 до n=m1, получим

a32+a33++a3m=m1n=1a3n+1=m1n=1(an+1an+2an+1an)=

=(a2a3a2a1)+(a3a4a3a2)+(a4a5a4a3)+...+(amam+1am1am)=amam+1a2a1;

m>1amam+1a2a10,(mod2004)(??)

Случай №3. Пусть an+1=0. Тогда an=an+2.

a32+a33++a3m={[m2]a3n,еслиn=2k([m2]+1)a3n,еслиn=2k+1

Пример: tZ:m={4008tеслиn=2k4008(t1),еслиn=2k+1