VII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2008 год
Пусть натуральные числа a,b,c,d таковы, что d делит a2b+c и d≥a+c.
Докажите, что d≥a+2b√a.
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Перепишем условие в виде a^{2b}+c \equiv (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d}. Это сравнение несложно проверить раскрыв (d-a)^{2b} по биному. Тогда так как (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d} \Rightarrow (d-a)^{2b} + c \geq d \geq a+c \Rightarrow (d-a)^{2b} \geq a \Rightarrow d \geq a + \sqrt[2b]{a}, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.