Processing math: 62%

VII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2008 год


Пусть натуральные числа a,b,c,d таковы, что d делит a2b+c и da+c. Докажите, что da+2ba. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
3 года 1 месяца назад #

Перепишем условие в виде a^{2b}+c \equiv (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d}. Это сравнение несложно проверить раскрыв (d-a)^{2b} по биному. Тогда так как (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d} \Rightarrow (d-a)^{2b} + c \geq d \geq a+c \Rightarrow (d-a)^{2b} \geq a \Rightarrow d \geq a + \sqrt[2b]{a}, что и требовалось доказать.

  0
3 года 1 месяца назад #

гениально