VII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2008 год
Задача №1. Пусть натуральные числа a,b,c,d таковы, что d делит a2b+c и d≥a+c.
Докажите, что d≥a+2b√a.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В треугольнике ABC точки A0,B0 и C0
— середины сторон BC,CA и AB соответственно,
а точки A1,B1 и C1 — середины (по длине) ломаных BAC,CBA и BCA соответственно.
Докажите, что прямые A0A1,B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан (неориентированный) граф (без петель) с 2n вершинами и с 2n(n−1) ребрами, n>1.
Докажите, что некоторые вершины и ребра этого графа можно покрасить в красный цвет так,
чтобы каждое красное ребро соединяло красные вершины и из каждой красной вершины исходило ровно n красных ребер.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Определите все многочлены P(x) с действительными коэффициентами такие,
что для любого рационального r уравнение P(x)=r имеет рациональное решение.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)