Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

VII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2008 год


Задача №1.  Пусть натуральные числа a,b,c,d таковы, что d делит a2b+c и da+c. Докажите, что da+2ba. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  В треугольнике ABC точки A0,B0 и C0 — середины сторон BC,CA и AB соответственно, а точки A1,B1 и C1 — середины (по длине) ломаных BAC,CBA и BCA соответственно. Докажите, что прямые A0A1,B0B1 и C0C1 пересекаются в одной точке. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Дан (неориентированный) граф (без петель) с 2n вершинами и с 2n(n1) ребрами, n>1. Докажите, что некоторые вершины и ребра этого графа можно покрасить в красный цвет так, чтобы каждое красное ребро соединяло красные вершины и из каждой красной вершины исходило ровно n красных ребер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Определите все многочлены P(x) с действительными коэффициентами такие, что для любого рационального r уравнение P(x)=r имеет рациональное решение. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
результаты