8-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2008 жыл
A0, B0, C0 нүктелері — ABC үшбұрышының сәйкесінше BC, CA, AB қабырғаларының ортасы, ал A1, B1, C1 нүктелері — сәйкесінше BAC, CBA, BCA қисықтарының (ұзындық бойынша) ортасы. Онда A0A1, B0B1, C0C1 түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелде.
(
Д. Елиусизов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть AC>AB>BC,B2=B0B1∩BC,C2=C0C1∩BC,Y=B0B1∩A0A1,X=B0B1∩C0C1. Тогда по теорема Менелая для △ABC и секущей B2B0: AB0B0C⋅CB1B1B⋅BB2B2A=1 Так как B1 середина ломаной CBA, то BB1=BB2. Аналогично получаем, что CC1=CC2. Теперь применим теорему Менелая для △CB0B2 и секущих A0A1,C0C1: CA0A0B2⋅B2YYB0⋅B0A2A2C=1,B2XXB0⋅B0C1C1C⋅CC2C2B2=B2XXB0⋅B0C1C2B2=1 Если мы хотим показать что X=Y, то достаточно показать, что CA0A0B2⋅B0A2A2C=B0C1C2B2 Обозначая AB=2c,AC=2b,BC=2a, получаем что CA0A0B2⋅B0A2A2C=ac⋅cc+b=ac+b=B0C1C2B2 Откуда X=Y, что аналогично тому, что прямые A0A1,B0B1,C0C1 пересекаются в одной точке.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.