VII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2008 год

В треугольнике $ABC$ точки $A_0, B_0$ и $C_0$ — середины сторон $BC, CA$ и $AB$ соответственно, а точки $A_1, B_1$ и $C_1$ — середины (по длине) ломаных $BAC, CBA$ и $BCA$ соответственно. Докажите, что прямые $A_0A_1, B_0B_1$ и $C_0C_1$ пересекаются в одной точке. ( Д. Елиусизов )

Комментарий/решение

Пусть $AC > AB > BC, B_{2} = B_{0}B_{1} \cap BC, C_{2} = C_{0}C_{1} \cap BC, Y = B_{0}B_{1} \cap A_{0}A_{1}, X = B_{0}B_{1} \cap C_{0}C_{1}$. Тогда по теорема Менелая для $\triangle ABC$ и секущей $B_{2}B_{0}$: $$\frac{AB_{0}}{B_{0}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}B} \cdot \frac{BB_{2}}{B_{2}A} = 1$$ Так как $B_{1}$ середина ломаной $CBA$, то $BB_{1}=BB_{2}$. Аналогично получаем, что $CC_{1}=CC_{2}$. Теперь применим теорему Менелая для $\triangle CB_{0}B_{2}$ и секущих $A_{0}A_{1}, C_{0}C_{1}$: $$\frac{CA_{0}}{A_{0}B_{2}} \cdot \frac{B_{2}Y}{YB_{0}} \cdot \frac{B_{0}A_{2}}{A_{2}C}=1 , \frac{B_{2}X}{XB_{0}} \cdot \frac{B_{0}C_{1}}{C_{1}C} \cdot \frac{CC_{2}}{C_{2}B_{2}}= \frac{B_{2}X}{XB_{0}} \cdot \frac{B_{0}C_{1}}{C_{2}B_{2}}=1$$ Если мы хотим показать что $X=Y$, то достаточно показать, что $$\frac{CA_{0}}{A_{0}B_{2}} \cdot \frac{B_{0}A_{2}}{A_{2}C} = \frac{B_{0}C_{1}}{C_{2}B_{2}}$$ Обозначая $AB=2c, AC=2b,BC=2a$, получаем что $$\frac{CA_{0}}{A_{0}B_{2}} \cdot \frac{B_{0}A_{2}}{A_{2}C} = \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{c+b} = \frac{a}{c+b} = \frac{B_{0}C_{1}}{C_{2}B_{2}}$$ Откуда $X=Y$, что аналогично тому, что прямые $A_{0}A_{1}, B_{0}B_{1}, C_{0}C_{1}$ пересекаются в одной точке.