8-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2008 жыл

Есеп №1. Натурал

$a,b,c,d$ сандары мынадай:

$d$ саны

${{a}^{2b}}+c$ санын қалдықсыз бөледі және

$d\ge a+c$ . Онда

$d\ge a+\sqrt[2b]{a}$ екенін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

${{A}_{0}}$ ,

${{B}_{0}}$ ,

${{C}_{0}}$ нүктелері —

$ABC$ үшбұрышының сәйкесінше

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ қабырғаларының ортасы, ал

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ нүктелері — сәйкесінше

$BAC$ ,

$CBA$ ,

$BCA$ қисықтарының (ұзындық бойынша) ортасы. Онда

${{A}_{0}}{{A}_{1}}$ ,

${{B}_{0}}{{B}_{1}}$ ,

${{C}_{0}}{{C}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$2n$ төбесі және

${2n(n-1)}$ қабырғасы бар (ориентацияланбаған, тұзақсыз) граф берілген. Әрбір қызыл төбеден дәл

$n$ қызыл қабырға шығатындай етіп осы графтың кейбір төбелері мен қабырғаларын қызыл түске бояуға болатынын дәлелдеңдер. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Мынадай шартты қанағаттандыратын барлық коэффициенттері нақты

$P(x)$ көпмүшеліктерді анықта: әрбір рационал

$r$ саны үшін

$P(x)=r$ теңдеуінің рационал шешімі табылады. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

результаты