VII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2008 год

Пусть натуральные числа $a,b,c,d$ таковы, что $d$ делит $a^{2b}+c$ и $d \ge a+c$. Докажите, что $d \ge a + \sqrt[2b]{a}$. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Перепишем условие в виде $a^{2b}+c \equiv (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d}$. Это сравнение несложно проверить раскрыв $(d-a)^{2b}$ по биному. Тогда так как $ (d-a)^{2b} + c \equiv 0 \pmod {d} \Rightarrow (d-a)^{2b} + c \geq d \geq a+c \Rightarrow (d-a)^{2b} \geq a \Rightarrow d \geq a + \sqrt[2b]{a}$, что и требовалось доказать.

гениально