Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс
Задача №1. Дано действительное число a>0. Сколько положительных действительных решений имеет уравнение ax=xa?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Пусть ω — описанная окружность треугольника ABC с тупым углом C а C′ симметричная точка точке C относительно AB. M — середина AB. C′M пересекает ω в точке N (C′ между M и N). Пусть BC′ вторично пересекает ω в точке F, а AC′ вторично пересекает w в точке E. K — середина EF. Докажите что прямые AB, CN и KC′ пересекаются в одной точке.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Даны нечетные натуральные числа m>1, k и простое число p такое, что p>mk+1. Докажите, что сумма
(Ckk)m+(Ckk+1)m+…+(Ckp−1)mделится наp2.
Здесь Ckn=n!k!(n−k)! — биномиальный коэффициент.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. На столе лежит карандаш, заточенный с одного конца. Ученик может поворачивать карандаш вокруг одного из его концов на 45∘ по часовой или против часовой стрелки. Может ли ученик после нескольких поворотов вернуть карандаш на исходное место так, чтобы заточенный и незаточенный конец поменялись местами?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Назовем квадратную таблицу бинарной, если в каждой ее клетке записано одно число 0 или 1. Бинарная таблица называется регулярной, если в каждой ее строке и в каждом столбце ровно по 2 единицы. Определите количество регулярных таблиц размером n×n (n>1 — данное фиксированное натуральное число). (Можно считать, что строки и столбцы таблиц пронумерованы: случаи совпадения при повороте, отражения и т.п. считать различными).
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)