Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс


Задача №1.  Дано действительное число a>0. Сколько положительных действительных решений имеет уравнение ax=xa?
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть ω — описанная окружность треугольника ABC с тупым углом C а C симметричная точка точке C относительно AB. M — середина AB. CM пересекает ω в точке N (C между M и N). Пусть BC вторично пересекает ω в точке F, а AC вторично пересекает w в точке E. K — середина EF. Докажите что прямые AB, CN и KC пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Даны нечетные натуральные числа m>1, k и простое число p такое, что p>mk+1. Докажите, что сумма (Ckk)m+(Ckk+1)m++(Ckp1)mделится наp2. Здесь Ckn=n!k!(nk)! — биномиальный коэффициент. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  На столе лежит карандаш, заточенный с одного конца. Ученик может поворачивать карандаш вокруг одного из его концов на 45 по часовой или против часовой стрелки. Может ли ученик после нескольких поворотов вернуть карандаш на исходное место так, чтобы заточенный и незаточенный конец поменялись местами?
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Назовем квадратную таблицу бинарной, если в каждой ее клетке записано одно число 0 или 1. Бинарная таблица называется регулярной, если в каждой ее строке и в каждом столбце ровно по 2 единицы. Определите количество регулярных таблиц размером n×n (n>1 — данное фиксированное натуральное число). (Можно считать, что строки и столбцы таблиц пронумерованы: случаи совпадения при повороте, отражения и т.п. считать различными). ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)
результаты