Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

Дано действительное число $a > 0$. Сколько положительных действительных решений имеет уравнение $a^x=x^a$?

Комментарий/решение

$x^a=a^x$

$\ln{x^a}=\ln{a^x}$

$a\ln{x}=x\ln{a}$

$\cfrac{\ln{x}}{x}=\cfrac{\ln{a}}{a}$

$e^{\tfrac{\ln{x}}{x}}=\sqrt[a]{a}$

При $a \in (0;1] \cup \{e\}$ - один корень, при $a \in (1;e) \cup (e;+ \infty)$ - два корня.

$$a=zx \Rightarrow z^xx^x=x^{xz}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x(log_{x}z+1)=xz\Rightarrow log_{z}x=\frac{1}{z-1}\Rightarrow x=z^{\frac{1}{z-1}}\Rightarrow a=z^{\frac{z}{z-1}}\Rightarrow$$