Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс


Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 7 месяца назад #

Пусть S и G ср ариф и ср геом делителей соотвественно и A то натуральное число.

Пусть A=ps11ps22...psnn тогда сумма всевозможных делителей есть (1+p1+...+ps11)(1+p2+...+ps22)...(1+pn+...+psnn)=(ps1+111)(ps2+121)...(psn+1n1)(p11)(p21)...(pn1) а количество (s1+1)(s2+1)...(sn+1)

откуда S=(ps1+111)(ps2+121)...(psn+1n1)(p11)(p21)...(pn1)(s1+1)(s2+1)...(sn+1)

Заметим тогда что среднее арифметическое делителей

G=((ps11ps22...psnn)(s1+1)(s2+1)...(sn+1)2)1(s1+1)(s2+1)...(sn+1)=A

Построим пример числа, пусть A=x2y2

Тогда подставляя вышеописанные формулы , получаем S=(x2+x+1)(y2+y+1)9 и G=xy

Если x2+x+1=3z то заметим что x=3a+1 и z=3a2+3a+1 подходит, аналогично y=3b+1 а простых чисел вида 3k+1 бесконечно много, то есть пара (3a+1,3b+1) подходит, откуда и следует утверждение.

К примеру при a=2,b=4 получается x=7,y=13 тогда A=912=8281 его делители 1,7,13,49,91,169,637,1183,8281

S=1159,G=91

  1
5 года 4 месяца назад #

Пусть n=p2, где p простое число вида 3k+1, а таких n бесконечно много. Тогда его делителями будут 1,p,p2. Значит их среднее арифметическое и среднее геометрическое будут

A=1+p+p23=1+3k+1+9k2+6k+13=3k2+3k+1Z

G=31×p×p2=pZ