Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Пусть S и G ср ариф и ср геом делителей соотвественно и A то натуральное число.
Пусть A=ps11⋅ps22⋅...⋅psnn тогда сумма всевозможных делителей есть (1+p1+...+ps11)(1+p2+...+ps22)⋅...(1+pn+...+psnn)=(ps1+11−1)(ps2+12−1)⋅...(psn+1n−1)(p1−1)(p2−1)...(pn−1) а количество (s1+1)(s2+1)...(sn+1)
откуда S=(ps1+11−1)(ps2+12−1)⋅...(psn+1n−1)(p1−1)(p2−1)...(pn−1)(s1+1)(s2+1)...(sn+1)
Заметим тогда что среднее арифметическое делителей
G=((ps11⋅ps22...psnn)(s1+1)(s2+1)...(sn+1)2)1(s1+1)(s2+1)...(sn+1)=√A
Построим пример числа, пусть A=x2⋅y2
Тогда подставляя вышеописанные формулы , получаем S=(x2+x+1)(y2+y+1)9 и G=xy
Если x2+x+1=3z то заметим что x=3a+1 и z=3a2+3a+1 подходит, аналогично y=3b+1 а простых чисел вида 3k+1 бесконечно много, то есть пара (3a+1,3b+1) подходит, откуда и следует утверждение.
К примеру при a=2,b=4 получается x=7,y=13 тогда A=912=8281 его делители 1,7,13,49,91,169,637,1183,8281
S=1159,G=91
Пусть n=p2, где p простое число вида 3k+1, а таких n бесконечно много. Тогда его делителями будут 1,p,p2. Значит их среднее арифметическое и среднее геометрическое будут
A=1+p+p23=1+3k+1+9k2+6k+13=3k2+3k+1∈Z
G=3√1×p×p2=p∈Z
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.