Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып

$\omega$ шеңбері $C$ бұрышы доғал болатын $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған, ал $C'$ — $AB$-ға қарағанда $C$ нүктесіне симметриялы, $M$ — $AB$-ның ортасы, $C'M$ түзуі $\omega$-ны $N$ нүктесінде қиып өтеді ($C'$ нүктесі $M$ мен $N$-нің арасында жатыр). $BC'$ және $AC'$ түзулері $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $F$ және $E$ нүктелерінде қиып өтеді, ал $K$ нүктесі — $EF$-тің ортасы. $AB$, $CN$ және $KC'$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Если точка $C_{1}$ - определена как точка симметричная $C$ относительно $AB$ или тоже самое $\angle CAB = \angle C'AB$ и $AC=AC'$ , тогда $BC=BC'$ по первому признаку равенства треугольников , то есть $\Delta ACB = \Delta AC'B$ и $\angle C'BA = \angle ABC$ , откуда $\angle FEC' = \angle C'BA = \angle ABC$ как вписанные , аналогично с другим , получим что треугольники $EC'F , \ BC'A$ подобны, положим что $X \in C'K \cap AB$ , так как $M$ и $K$ середины сторон $AB$ и $EF$ соответственно , то получим что $CM$ она же $CN$ в треугольнике $ECF$ является симедианой этого треугольника , аналогично $KC'$ она же $CX$ в треугольнике $AC'B$ является симедианой этого треугольника .

Теперь чтобы доказать то что $CN,AB,KC'$ пересекаются в одной точке, достаточно доказать то что $CX$ так же симедиана треугольника $ABC$.

Положим что $G$ это точка пересечения $CM$ с описанной окружностью , так же удвоим медиану $C'M$ так что $C'M=HM$ тогда по свойству удвоение , получим $BHAC'$ - параллелограмм , откуда $\angle BHA = \angle AC'B = \angle ACB$ , значит $H$ лежит на описанной окружности , $AH=BC' = BC$ стало быть $BCHA$ равнобедренная трапеция , откуда следует $CM=HM$ а с него то что $MN=MG$ (по свойству хорд) , окончательно получаем $\Delta BMN = \Delta GMA$ по первому признаку равенства треугольников , значит $BN=AG$ , а это условие дает равенства углов $\angle GCA = \angle BCN$ как дуги опирающийся на равные хорды. То есть $CX$ - действительно симедиана. Значит $AB,CN,KC'$ - пересекаются в одной точке .