Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 11 класс

Пусть $\omega$ — описанная окружность треугольника $ABC$ с тупым углом $C$ а $C'$ симметричная точка точке $C$ относительно $AB$. $M$ — середина $AB$. $C'M$ пересекает $\omega$ в точке $N$ ($C'$ между $M$ и $N$). Пусть $BC'$ вторично пересекает $\omega$ в точке $F$, а $AC'$ вторично пересекает $w$ в точке $E$. $K$ — середина $EF$. Докажите что прямые $AB$, $CN$ и $KC'$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Если точка $C_{1}$ - определена как точка симметричная $C$ относительно $AB$ или тоже самое $\angle CAB = \angle C'AB$ и $AC=AC'$ , тогда $BC=BC'$ по первому признаку равенства треугольников , то есть $\Delta ACB = \Delta AC'B$ и $\angle C'BA = \angle ABC$ , откуда $\angle FEC' = \angle C'BA = \angle ABC$ как вписанные , аналогично с другим , получим что треугольники $EC'F , \ BC'A$ подобны, положим что $X \in C'K \cap AB$ , так как $M$ и $K$ середины сторон $AB$ и $EF$ соответственно , то получим что $CM$ она же $CN$ в треугольнике $ECF$ является симедианой этого треугольника , аналогично $KC'$ она же $CX$ в треугольнике $AC'B$ является симедианой этого треугольника .

Теперь чтобы доказать то что $CN,AB,KC'$ пересекаются в одной точке, достаточно доказать то что $CX$ так же симедиана треугольника $ABC$.

Положим что $G$ это точка пересечения $CM$ с описанной окружностью , так же удвоим медиану $C'M$ так что $C'M=HM$ тогда по свойству удвоение , получим $BHAC'$ - параллелограмм , откуда $\angle BHA = \angle AC'B = \angle ACB$ , значит $H$ лежит на описанной окружности , $AH=BC' = BC$ стало быть $BCHA$ равнобедренная трапеция , откуда следует $CM=HM$ а с него то что $MN=MG$ (по свойству хорд) , окончательно получаем $\Delta BMN = \Delta GMA$ по первому признаку равенства треугольников , значит $BN=AG$ , а это условие дает равенства углов $\angle GCA = \angle BCN$ как дуги опирающийся на равные хорды. То есть $CX$ - действительно симедиана. Значит $AB,CN,KC'$ - пересекаются в одной точке .