Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Нақты

$a > 0$ саны берілген.

${{a}^{x}}={{x}^{a}}$ теңдеуінің қанша оң нақты шешімі бар?
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$\omega$ шеңбері

$C$ бұрышы доғал болатын

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған, ал

$C'$ —

$AB$ -ға қарағанда

$C$ нүктесіне симметриялы,

$M$ —

$AB$ -ның ортасы,

$C'M$ түзуі

$\omega$ -ны

$N$ нүктесінде қиып өтеді (

$C'$ нүктесі

$M$ мен

$N$ -нің арасында жатыр).

$BC'$ және

$AC'$ түзулері

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$F$ және

$E$ нүктелерінде қиып өтеді, ал

$K$ нүктесі —

$EF$ -тің ортасы.

$AB$ ,

$CN$ және

$KC'$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Тақ, натурал

$m > 1,k$ сандары және

$p > mk+1$ болатын

$p$ жай саны берілген. Келесі тұжырымды дәлелде:

${{(C_{k}^{k})}^{m}}+{{(C_{k+1}^{k})}^{m}}+\ldots +{{(C_{p-1}^{k})}^{m}}$ қосындысы

${{p}^{2}}$ санына бөлінеді. Мұнда

$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиалдық коэффициент. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Бөлгіштерінің арифметикалық және геометриялық орталары бір мезгілде бүтін сандар болатын шексіз көп натурал сандарының табылатынын дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Үстел үстінде бір ұшы ұшталған қарындаш жатыр. Оқушы оны кез келген ұшын айналдыра сағат тілімен немесе сағат тіліне қарсы

$45^\circ$ -қа бұра алады. Осындай бірнеше айналдыруларды қолданып, оқушы қарындашты бастапқы орынына оның ұшталған және ұшталмаған ұштарын ауыстырып қоя ала ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Әрбір торкөзіне 0 немесе 1 жазылған шаршы кестені бинарлық деп атаймыз. Егер бинарлық кестенің әрбір жолында және әрбір бағанында дәл 2 бірлік жазылған болса, ол регулярлы деп аталады. Өлшемі

$n\times n$ (

$n > 1$ — бір бекітілген натурал сан) болатын әртүрлі регулярлы кестелердің санын анықта. (Кестенің жолдары мен бағандары нөмірленген деп есептеуге болады: тек бұру, шағылыстыру т.с.с. жолмен беттесетін кестелер әртүрлі деп есептеледі.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

результаты