Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Нақты $a > 0$ саны берілген. ${{a}^{x}}={{x}^{a}}$ теңдеуінің қанша оң нақты шешімі бар?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $\omega $ шеңбері $C$ бұрышы доғал болатын $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған, ал $C'$ — $AB$-ға қарағанда $C$ нүктесіне симметриялы, $M$ — $AB$-ның ортасы, $C'M$ түзуі $\omega $-ны $N$ нүктесінде қиып өтеді ($C'$ нүктесі $M$ мен $N$-нің арасында жатыр). $BC'$ және $AC'$ түзулері $\omega $-ны екінші рет сәйкесінше $F$ және $E$ нүктелерінде қиып өтеді, ал $K$ нүктесі — $EF$-тің ортасы. $AB$, $CN$ және $KC'$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Тақ, натурал $m > 1,k$ сандары және $p > mk+1$ болатын $p$ жай саны берілген. Келесі тұжырымды дәлелде: ${{(C_{k}^{k})}^{m}}+{{(C_{k+1}^{k})}^{m}}+\ldots +{{(C_{p-1}^{k})}^{m}}$ қосындысы ${{p}^{2}}$ санына бөлінеді. Мұнда $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиалдық коэффициент. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Бөлгіштерінің арифметикалық және геометриялық орталары бір мезгілде бүтін сандар болатын шексіз көп натурал сандарының табылатынын дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Үстел үстінде бір ұшы ұшталған қарындаш жатыр. Оқушы оны кез келген ұшын айналдыра сағат тілімен немесе сағат тіліне қарсы $45^\circ$-қа бұра алады. Осындай бірнеше айналдыруларды қолданып, оқушы қарындашты бастапқы орынына оның ұшталған және ұшталмаған ұштарын ауыстырып қоя ала ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Әрбір торкөзіне 0 немесе 1 жазылған шаршы кестені бинарлық деп атаймыз. Егер бинарлық кестенің әрбір жолында және әрбір бағанында дәл 2 бірлік жазылған болса, ол регулярлы деп аталады. Өлшемі $n\times n$ ($n > 1$ — бір бекітілген натурал сан) болатын әртүрлі регулярлы кестелердің санын анықта. (Кестенің жолдары мен бағандары нөмірленген деп есептеуге болады: тек бұру, шағылыстыру т.с.с. жолмен беттесетін кестелер әртүрлі деп есептеледі.) ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(1)

результаты