Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. $2k$-значное натуральное число $n=\overline{a_{2k-1} a_{2k-2}\ldots a_1 a_0}$ $(a_{2k-1}\ne 0)$ назовем особенным, если $n=(\overline{a_{2k-1}\ldots a_k}+\overline{a_{k-1}\ldots a_0})^2.$ Например, числа $81=(8+1)^2$ и $9801=(98+01)^2$ — особенные.
a) Найдите все особенные четырехзначные числа.
b) Докажите, что для любого натурального $k$ существует по крайней мере одно особенное $2k$-значное число. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Задача №2. $A$ и $B$ играют в игру на клетчатой доске $100\times 100$. У каждого игрока есть по фишке. В начале игры фишка игрока $A$ стоит в левом нижнем углу, а фишка игрока $B$ — в правом нижнем углу. Игроки делают ходы по очереди, начинает $A$. За один ход игрок передвигает свою фишку на любую клетку доски, соседнюю по стороне с клеткой предыдущей позиции. Докажите, что игрок $A$ за конечное число ходов сможет добиться того, что в какой-то момент его фишка будет стоять на одной клетке с фишкой игрока $B$, независимо от ходов второго игрока.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Правильный шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность $\omega$. Прямые $t_1$ и $t_2$ параллельны $AD$ и касаются $\omega$ в точках $G$ и $H$, соответственно. $GH$ пересекает $BC$ и $EF$ в точках $I$ и $J$, соответственно. Прямая $t_3$ касается $\omega$ и пересекает $t_1$ и $t_2$ в точках $K$ и $L$, соответственно. $KH$ и $LG$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что $MI+MJ=GH$. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все пары $(x,y)$ действительных чисел, удовлетворяющих уравнению $\left(x^3+\frac{1}{x}\right)\left(y^3+\frac{1}{y}\right)=4(x^2-y^2).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(6)

Задача №5. На сторонах $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$, соответственно. $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $F$, $DE$ и $CF$ пересекаются в точке $K$. Окружность, описанная около треугольника $AEF$, вторично пересекает прямые $AB$ и $AK$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Окружность, описанная около $ABQ$, вторично пересекает отрезок $BE$ в точке $T$.
a) Докажите, что $T$ — середина $EF$.
b) Докажите, что $\angle FPT=\angle QPE$. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение

Задача №6. Пусть $s(n)=1+2+\ldots+n$, а $S=\{1,4,9,16,\ldots \}$ есть множество всех квадратов натуральных чисел. Определим последовательность таким образом, что $a_1=1$ и $a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$ для всех натуральных $n$. Докажите, что $a_k$ делится на $a_l$ тогда, и только тогда, когда $k$ делится на $l$. ( А. Васильев )
комментарий/решение