Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. $2k$-таңбалы натурал $n=\overline{a_{2k-1} a_{2k-2}\ldots a_1 a_0}$ $(a_{2k-1}\ne 0)$ саны үшін $n=(\overline{a_{2k-1}\ldots a_k}+\overline{a_{k-1}\ldots a_0})^2$ теңдігі орындалса, ондай санды ерекше сан деп атаймыз. Мысалы, $81=(8+1)^2$ және $9801=(98+01)^2$ сандары — ерекше сандар.
a) Барлық төрт таңбалы ерекше сандарды табыңыз.
b) Кез келген натурал $k$ саны үшін кемінде бір $2k$-таңбалы ерекше сан табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

Есеп №2. $100\times 100$ өлшемді ұяшықты тақтада $A$ және $B$ ойыншылары ойын ойнауда. Әр ойыншыда бір дойбыдан бар. Ойынның басында $A$-ның дойбысы төменгі сол бұрыштағы ұяшықта, ал $B$-ның дойбысы төменгі оң жақ бұрыштағы ұяшықта тұр. Ойыншылар кезектесіп жүреді, ойынды $A$ ойыншысы бастайды. Бір жүрісте әр ойыншы өз дойбысын сол дойбы тұрған ұяшықтан, оған қабырға бойынша көрші ұяшыққа жылжыта алады. $B$-ның ойынына қарамастан, $A$ ойыншысы шекті жүріс санында оның дойбысы $B$-ның дойбысы тұрған ұяшықта болатындай етіп жүре алатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. $\omega$ шеңберіне дұрыс $ABCDEF$ алтыбұрышы іштей сызылған. $t_1$ және $t_2$ түзулері $AD$ түзуіне параллель және $\omega$-ны, сәйкесінше, $G$ және $H$ нүктелерінде жанайды. $GH$ түзуі $BC$ және $EF$-ті, сәйкесінше, $I$ және $J$ нүктелерінде қияды. $t_3$ түзуі $\omega$-ны жанап, $t_1$ және $t_2$ түзулерін, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $KH$ және $LG$ түзулері $M$ нүктесінде қиылысады. $MI+MJ=GH$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $\left(x^3+\frac{1}{x}\right)\left(y^3+\frac{1}{y}\right)=4(x^2-y^2)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $(x,y)$ нақты сандар жұптарын табыңыз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(6)

Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының $BC$ және $AC$ қабырғаларында, сәйкесінше, $D$ және $E$ нүктелері белгіленген. $AD$ және $BE$ түзулері $F$, $DE$ және $CF$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $AEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AB$ және $AK$ түзулерін екінші рет, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $ABQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $BE$ кесіндісін екінші рет $T$ нүктесінде қияды.
a) $T$ нүктесі $EF$ кесіндісінің ортасы екенін дәлелдеңіз.
b) $\angle FPT=\angle QPE$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение

Есеп №6. $s(n)=1+2+\ldots+n$ және $S=\{1,4,9,16,\ldots \}$ натурал барлық сандардың квадраттарының жиыны болсын. Келесідей сандар тізбегін анықтайық, $a_1=1$ және кез келген натурал $n$ үшін $a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$. Егер $a_k$ саны $a_l$-ға бөлінсе, онда $k$ саны $l$-ға бөлінетінін, және керісінше, егер $k$ саны $l$-ға бөлінсе, онда $a_k$ саны $a_l$-ға бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение