Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$2k$ -таңбалы натурал

$n=\overline{a_{2k-1} a_{2k-2}\ldots a_1 a_0}$

$(a_{2k-1}\ne 0)$ саны үшін

$n=(\overline{a_{2k-1}\ldots a_k}+\overline{a_{k-1}\ldots a_0})^2$ теңдігі орындалса, ондай санды ерекше сан деп атаймыз. Мысалы,

$81=(8+1)^2$ және

$9801=(98+01)^2$ сандары — ерекше сандар.
a) Барлық төрт таңбалы ерекше сандарды табыңыз.
b) Кез келген натурал

$k$ саны үшін кемінде бір

$2k$ -таңбалы ерекше сан табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5)

Есеп №2.

$100\times 100$ өлшемді ұяшықты тақтада

$A$ және

$B$ ойыншылары ойын ойнауда. Әр ойыншыда бір дойбыдан бар. Ойынның басында

$A$ -ның дойбысы төменгі сол бұрыштағы ұяшықта, ал

$B$ -ның дойбысы төменгі оң жақ бұрыштағы ұяшықта тұр. Ойыншылар кезектесіп жүреді, ойынды

$A$ ойыншысы бастайды. Бір жүрісте әр ойыншы өз дойбысын сол дойбы тұрған ұяшықтан, оған қабырға бойынша көрші ұяшыққа жылжыта алады.

$B$ -ның ойынына қарамастан,

$A$ ойыншысы шекті жүріс санында оның дойбысы

$B$ -ның дойбысы тұрған ұяшықта болатындай етіп жүре алатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$\omega$ шеңберіне дұрыс

$ABCDEF$ алтыбұрышы іштей сызылған.

$t_1$ және

$t_2$ түзулері

$AD$ түзуіне параллель және

$\omega$ -ны, сәйкесінше,

$G$ және

$H$ нүктелерінде жанайды.

$GH$ түзуі

$BC$ және

$EF$ -ті, сәйкесінше,

$I$ және

$J$ нүктелерінде қияды.

$t_3$ түзуі

$\omega$ -ны жанап,

$t_1$ және

$t_2$ түзулерін, сәйкесінше,

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды.

$KH$ және

$LG$ түзулері

$M$ нүктесінде қиылысады.

$MI+MJ=GH$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$\left(x^3+\frac{1}{x}\right)\left(y^3+\frac{1}{y}\right)=4(x^2-y^2)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық

$(x,y)$ нақты сандар жұптарын табыңыз. ( А. Васильев )
комментарий/решение(6)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ және

$AC$ қабырғаларында, сәйкесінше,

$D$ және

$E$ нүктелері белгіленген.

$AD$ және

$BE$ түзулері

$F$ ,

$DE$ және

$CF$ түзулері

$K$ нүктесінде қиылысады.

$AEF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AB$ және

$AK$ түзулерін екінші рет, сәйкесінше,

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қияды.

$ABQ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$BE$ кесіндісін екінші рет

$T$ нүктесінде қияды.
a)

$T$ нүктесі

$EF$ кесіндісінің ортасы екенін дәлелдеңіз.
b)

$\angle FPT=\angle QPE$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$s(n)=1+2+\ldots+n$ және

$S=\{1,4,9,16,\ldots \}$ натурал барлық сандардың квадраттарының жиыны болсын. Келесідей сандар тізбегін анықтайық,

$a_1=1$ және кез келген натурал

$n$ үшін

$a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$ . Егер

$a_k$ саны

$a_l$ -ға бөлінсе, онда

$k$ саны

$l$ -ға бөлінетінін, және керісінше, егер

$k$ саны

$l$ -ға бөлінсе, онда

$a_k$ саны

$a_l$ -ға бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
комментарий/решение