Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

$2k$-значное натуральное число $n=\overline{a_{2k-1} a_{2k-2}\ldots a_1 a_0}$ $(a_{2k-1}\ne 0)$ назовем особенным, если $n=(\overline{a_{2k-1}\ldots a_k}+\overline{a_{k-1}\ldots a_0})^2.$ Например, числа $81=(8+1)^2$ и $9801=(98+01)^2$ — особенные.
   a) Найдите все особенные четырехзначные числа.
   b) Докажите, что для любого натурального $k$ существует по крайней мере одно особенное $2k$-значное число. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Подпункт б)

Возьмем число $999..98000..01$, где кол-во 9 = $k-1$, кол-во 0 = $k-1$

Это число = $999..9^2$, где k девяток, так как $999..9^2=(1000..0-1)^2=100..0$ (2k нулей) $-2*100...0$ (k нулей) $+1=999..98000..01$

Но тогда, $999..98000..01=(999..98+000..01)^2=999..9^2$

Combi одобряет

a.) n = 2025, 3025, 9801

Пусть, $n = \overline{abcd} = (ab + cd)^2 = 100ab + cd \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab.$ Легко понять, что:

$198 \geq ab + cd \geq 10.$ У нас,

$max(ab) = 99 \Rightarrow 99^2 \geq (ab + cd - 1)(ab + cd) > (ab + cd - 1)(ab + cd - 1) \Rightarrow ab + cd \leq 99.$ Вспомним, то, нашли выше:

$(ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) \equiv 0 \pmod {99}. 99$ делится на $9, 11, 99$, поэтому есть 3 случая:

$$1) ab + cd \equiv 0 \pmod {99} \Rightarrow ab + cd = 99 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 99^2 = 9801 = n

2) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {11}, ab + cd \equiv 0 \pmod {9} \Rightarrow ab + cd = 45 \Rightarrow

(ab + cd)^2 = 2025 = n

3) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {9}, ab + cd \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow ab + cd = 55 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 3025 = n$$

В итоге и наши ответы

Матол, че за прикол, ладно.

a.) $n = 2025, 3025, 9801$.

Пусть, $n = \overline{abcd} = (ab + cd)^2 = 100ab + cd \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab.$

Легко понять, что:

$198 \geq ab + cd \geq 10.$

У нас,

$max(ab) = 99 \Rightarrow 99^2 \geq (ab + cd - 1)(ab + cd) > (ab + cd - 1)(ab + cd - 1) \Rightarrow ab + cd \leq 99.$

Вспомним, то, нашли выше:

$(ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) \equiv 0 \pmod {99}. 99$ делится на $9, 11, 99$, поэтому есть 3 случая:

$1) ab + cd \equiv 0 \pmod {99} \Rightarrow ab + cd = 99 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 99^2 = 9801 = n$ (варианта, где $ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {99}$ не может быть, ведь $ab + cd - 1 \leq 98$).

$2) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {11}, ab + cd \equiv 0 \pmod {9} \Rightarrow ab + cd = 45 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 2025 = n$.

И последний случай:

$3) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {9}, ab + cd \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow ab + cd = 55 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 3025 = n$

В итоге и наши ответы.

Ой Удалите ввод(enter)