Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс
a) Барлық төрт таңбалы ерекше сандарды табыңыз.
b) Кез келген натурал k саны үшін кемінде бір 2k-таңбалы ерекше сан табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
Комментарий/решение:
a.) n = 2025, 3025, 9801
Пусть, n=¯abcd=(ab+cd)2=100ab+cd⇒(ab+cd−1)(ab+cd)=99ab. Легко понять, что:
198≥ab+cd≥10. У нас,
max(ab)=99⇒992≥(ab+cd−1)(ab+cd)>(ab+cd−1)(ab+cd−1)⇒ab+cd≤99. Вспомним, то, нашли выше:
(ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) \equiv 0 \pmod {99}. 99 делится на 9, 11, 99, поэтому есть 3 случая:
$$1) ab + cd \equiv 0 \pmod {99} \Rightarrow ab + cd = 99 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 99^2 = 9801 = n
2) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {11}, ab + cd \equiv 0 \pmod {9} \Rightarrow ab + cd = 45 \Rightarrow
(ab + cd)^2 = 2025 = n
3) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {9}, ab + cd \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow ab + cd = 55 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 3025 = n$$
В итоге и наши ответы
Матол, че за прикол, ладно.
a.) n = 2025, 3025, 9801.
Пусть, n = \overline{abcd} = (ab + cd)^2 = 100ab + cd \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab.
Легко понять, что:
198 \geq ab + cd \geq 10.
У нас,
max(ab) = 99 \Rightarrow 99^2 \geq (ab + cd - 1)(ab + cd) > (ab + cd - 1)(ab + cd - 1) \Rightarrow ab + cd \leq 99.
Вспомним, то, нашли выше:
(ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) \equiv 0 \pmod {99}. 99 делится на 9, 11, 99, поэтому есть 3 случая:
1) ab + cd \equiv 0 \pmod {99} \Rightarrow ab + cd = 99 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 99^2 = 9801 = n (варианта, где ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {99} не может быть, ведь ab + cd - 1 \leq 98).
2) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {11}, ab + cd \equiv 0 \pmod {9} \Rightarrow ab + cd = 45 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 2025 = n.
И последний случай:
3) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {9}, ab + cd \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow ab + cd = 55 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 3025 = n
В итоге и наши ответы.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.