Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

$2k$-таңбалы натурал $n=\overline{a_{2k-1} a_{2k-2}\ldots a_1 a_0}$ $(a_{2k-1}\ne 0)$ саны үшін $n=(\overline{a_{2k-1}\ldots a_k}+\overline{a_{k-1}\ldots a_0})^2$ теңдігі орындалса, ондай санды ерекше сан деп атаймыз. Мысалы, $81=(8+1)^2$ және $9801=(98+01)^2$ сандары — ерекше сандар.
   a) Барлық төрт таңбалы ерекше сандарды табыңыз.
   b) Кез келген натурал $k$ саны үшін кемінде бір $2k$-таңбалы ерекше сан табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Подпункт б)

Возьмем число $999..98000..01$, где кол-во 9 = $k-1$, кол-во 0 = $k-1$

Это число = $999..9^2$, где k девяток, так как $999..9^2=(1000..0-1)^2=100..0$ (2k нулей) $-2*100...0$ (k нулей) $+1=999..98000..01$

Но тогда, $999..98000..01=(999..98+000..01)^2=999..9^2$

Combi одобряет