Processing math: 59%

Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс


2k-таңбалы натурал n=¯a2k1a2k2a1a0 (a2k10) саны үшін n=(¯a2k1ak+¯ak1a0)2 теңдігі орындалса, ондай санды ерекше сан деп атаймыз. Мысалы, 81=(8+1)2 және 9801=(98+01)2 сандары — ерекше сандар.
   a) Барлық төрт таңбалы ерекше сандарды табыңыз.
   b) Кез келген натурал k саны үшін кемінде бір 2k-таңбалы ерекше сан табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2 месяца 27 дней назад #

Подпункт б)

Возьмем число 999..98000..01, где кол-во 9 = k1, кол-во 0 = k1

Это число = 999..92, где k девяток, так как 999..92=(1000..01)2=100..0 (2k нулей) 2100...0 (k нулей) +1=999..98000..01

Но тогда, 999..98000..01=(999..98+000..01)2=999..92

  5
2 месяца 27 дней назад #

Combi одобряет

пред. Правка 5   4
20 дней 10 часов назад #

a.) n = 2025, 3025, 9801

Пусть, n=¯abcd=(ab+cd)2=100ab+cd(ab+cd1)(ab+cd)=99ab. Легко понять, что:

198ab+cd10. У нас,

max(ab)=99992(ab+cd1)(ab+cd)>(ab+cd1)(ab+cd1)ab+cd99. Вспомним, то, нашли выше:

(ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) \equiv 0 \pmod {99}. 99 делится на 9, 11, 99, поэтому есть 3 случая:

$$1) ab + cd \equiv 0 \pmod {99} \Rightarrow ab + cd = 99 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 99^2 = 9801 = n

2) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {11}, ab + cd \equiv 0 \pmod {9} \Rightarrow ab + cd = 45 \Rightarrow

(ab + cd)^2 = 2025 = n

3) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {9}, ab + cd \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow ab + cd = 55 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 3025 = n$$

В итоге и наши ответы

пред. Правка 4   3
20 дней 8 часов назад #

Матол, че за прикол, ладно.

a.) n = 2025, 3025, 9801.

Пусть, n = \overline{abcd} = (ab + cd)^2 = 100ab + cd \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab.

Легко понять, что:

198 \geq ab + cd \geq 10.

У нас,

max(ab) = 99 \Rightarrow 99^2 \geq (ab + cd - 1)(ab + cd) > (ab + cd - 1)(ab + cd - 1) \Rightarrow ab + cd \leq 99.

Вспомним, то, нашли выше:

(ab + cd - 1)(ab + cd) = 99ab \Rightarrow (ab + cd - 1)(ab + cd) \equiv 0 \pmod {99}. 99 делится на 9, 11, 99, поэтому есть 3 случая:

1) ab + cd \equiv 0 \pmod {99} \Rightarrow ab + cd = 99 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 99^2 = 9801 = n (варианта, где ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {99} не может быть, ведь ab + cd - 1 \leq 98).

2) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {11}, ab + cd \equiv 0 \pmod {9} \Rightarrow ab + cd = 45 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 2025 = n.

И последний случай:

3) ab + cd - 1 \equiv 0 \pmod {9}, ab + cd \equiv 0 \pmod {11} \Rightarrow ab + cd = 55 \Rightarrow (ab + cd)^2 = 3025 = n

В итоге и наши ответы.

пред. Правка 2   0
20 дней 9 часов назад #

Ой Удалите ввод(enter)