Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

$A$ и $B$ играют в игру на клетчатой доске $100\times 100$. У каждого игрока есть по фишке. В начале игры фишка игрока $A$ стоит в левом нижнем углу, а фишка игрока $B$ — в правом нижнем углу. Игроки делают ходы по очереди, начинает $A$. За один ход игрок передвигает свою фишку на любую клетку доски, соседнюю по стороне с клеткой предыдущей позиции. Докажите, что игрок $A$ за конечное число ходов сможет добиться того, что в какой-то момент его фишка будет стоять на одной клетке с фишкой игрока $B$, независимо от ходов второго игрока.

Комментарий/решение

Прономеруем столбы от a_{1} до а_{100}, строки она логично с б_{1} до б_{100}. Стратегия выигрыша(выигрыш тот случай когда А становиться на клетку В):Если фишка А стоит на бn строке(n натуральное число от 1 до 100), а фишка В на строке б_{n-1} или б_{n} или б_{n+1} то мы движемся в сторону фишки В(то есть на лево или на право)

А если фишка А стоит на строке бn, и фишка В стоит на строке б_{n-2} или б_{n+2} то мы двигаем фишка на вверх или вниз (смотря где фишка В). Стоит отметить что каждый раз когда фишка B будет упираться в один из сторон, фишка А будет приближаться. И проделывая эти операции мы доберемся до фишки В так как будут моменты когда фишка В будет упираться к одной из сторон доски. И будет момент когда фишка А стоит на клетке а_{99} б_{2} а фишка B стоит на клетке а_{100} б_{1} или момент когда фишка А стоит на а_{99} б_{99} и фишка В стоит на а_{100}. б_{100}, и в обеих этих случаях на следующем ходу игрок А выиграет.

Прономеруем столбы от a_1 до а_100, строки она логично с б_1 до б_100. Стратегия выигрыша(выигрыш тот случай когда А становиться на клетку В):Если фишка А стоит на бn строке(n натуральное число от 1 до 100), а фишка В на строке б_n-1 или б_n или б_n+1 то мы движемся в сторону фишки В(то есть на лево или на право)

А если фишка А стоит на строке б_n, и фишка В стоит на строке б_n-2 или б_n+2 то мы двигаем фишка на вверх или вниз (смотря где фишка В). Стоит отметить что каждый раз когда фишка B будет упираться в один из сторон, фишка А будет приближаться. И проделывая эти операции мы доберемся до фишки В так как будут моменты когда фишка В будет упираться к одной из сторон доски. И будет момент когда фишка А стоит на клетке а_99 б_2 а фишка B стоит на клетке а_100 б_1 или момент когда фишка А стоит на а_99 б_99 и фишка В стоит на а_100. б_100, и в обеих этих случаях на следующем ходу игрок А выиграет.