Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1.

$2k$ -значное натуральное число

$n=\overline{a_{2k-1} a_{2k-2}\ldots a_1 a_0}$

$(a_{2k-1}\ne 0)$ назовем особенным, если

$n=(\overline{a_{2k-1}\ldots a_k}+\overline{a_{k-1}\ldots a_0})^2.$ Например, числа

$81=(8+1)^2$ и

$9801=(98+01)^2$ — особенные.
a) Найдите все особенные четырехзначные числа.
b) Докажите, что для любого натурального

$k$ существует по крайней мере одно особенное

$2k$ -значное число. ( А. Васильев )
комментарий/решение(5)

Задача №2.

$A$ и

$B$ играют в игру на клетчатой доске

$100\times 100$ . У каждого игрока есть по фишке. В начале игры фишка игрока

$A$ стоит в левом нижнем углу, а фишка игрока

$B$ — в правом нижнем углу. Игроки делают ходы по очереди, начинает

$A$ . За один ход игрок передвигает свою фишку на любую клетку доски, соседнюю по стороне с клеткой предыдущей позиции. Докажите, что игрок

$A$ за конечное число ходов сможет добиться того, что в какой-то момент его фишка будет стоять на одной клетке с фишкой игрока

$B$ , независимо от ходов второго игрока.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Правильный шестиугольник

$ABCDEF$ вписан в окружность

$\omega$ . Прямые

$t_1$ и

$t_2$ параллельны

$AD$ и касаются

$\omega$ в точках

$G$ и

$H$ , соответственно.

$GH$ пересекает

$BC$ и

$EF$ в точках

$I$ и

$J$ , соответственно. Прямая

$t_3$ касается

$\omega$ и пересекает

$t_1$ и

$t_2$ в точках

$K$ и

$L$ , соответственно.

$KH$ и

$LG$ пересекаются в точке

$M$ . Докажите, что

$MI+MJ=GH$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все пары

$(x,y)$ действительных чисел, удовлетворяющих уравнению

$\left(x^3+\frac{1}{x}\right)\left(y^3+\frac{1}{y}\right)=4(x^2-y^2).$ ( А. Васильев )
комментарий/решение(6)

Задача №5. На сторонах

$BC$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ взяты точки

$D$ и

$E$ , соответственно.

$AD$ и

$BE$ пересекаются в точке

$F$ ,

$DE$ и

$CF$ пересекаются в точке

$K$ . Окружность, описанная около треугольника

$AEF$ , вторично пересекает прямые

$AB$ и

$AK$ в точках

$P$ и

$Q$ , соответственно. Окружность, описанная около

$ABQ$ , вторично пересекает отрезок

$BE$ в точке

$T$ .
a) Докажите, что

$T$ — середина

$EF$ .
b) Докажите, что

$\angle FPT=\angle QPE$ . ( М. Нсанбаев )
комментарий/решение(2)

Задача №6. Пусть

$s(n)=1+2+\ldots+n$ , а

$S=\{1,4,9,16,\ldots \}$ есть множество всех квадратов натуральных чисел. Определим последовательность таким образом, что

$a_1=1$ и

$a_{n+1}=\min \{m:(s(m)-s(a_n ))\in S\}$ для всех натуральных

$n$ . Докажите, что

$a_k$ делится на

$a_l$ тогда, и только тогда, когда

$k$ делится на

$l$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение