Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

На сторонах $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$, соответственно. $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $F$, $DE$ и $CF$ пересекаются в точке $K$. Окружность, описанная около треугольника $AEF$, вторично пересекает прямые $AB$ и $AK$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. Окружность, описанная около $ABQ$, вторично пересекает отрезок $BE$ в точке $T$.
   a) Докажите, что $T$ — середина $EF$.
   b) Докажите, что $\angle FPT=\angle QPE$. ( М. Нсанбаев )

Комментарий/решение

Пусть пересечение прямых $DE$ $BC$ это $X$, а пересечение $CF$ и $BC$ это $S$. Очевидно что $(XS:AC)=-1$ и $(XK:DE)=-1$ тогда с проекцируем прмяую $XK$ на описанную окужность $\triangle AEF$ через точку $A$ тогда $(X\rightarrow P)$, $(E\rightarrow E)$, $(K\rightarrow Q)$, $(D\rightarrow F)$ то есть четырехугольник $PFQE$ гармоничный. то есть если докажем что $T$ середина $EF$ то мы решили задачу.

Обозначим углы пусть $\angle AEF=x$, $\angle AFE=y$, $\angle QAF=\psi$, $\angle TAQ=\beta$, $\angle EAT=\alpha-\beta$

дальше через счет углов получите что $\angle TBQ=\beta$, $\angle QEF=\psi$, $\angle FAB=\alpha-\beta$

заметим вот что:

$\frac{AF}{sin\angle TAF}$=$\frac{TF}{sin\angle\psi+\beta}$ и $\frac{AE}{sin\angle TAE}$=$\frac{ET}{sin\angle\alpha-\beta}$

следовательно надо доказать что $\frac{AF}{AE}=\frac{sin\angle TAE}{sin\angle TAF}$

$\frac{QF}{sin\angle\beta}=\frac{BF}{sin\angle\alpha-\beta}$, \quad

$\frac{QE}{sin\angle\beta}=\frac{BE}{sin\angle\psi+\beta}$

$\frac{QE\cdot BF}{QF\cdot BE} =\frac{sin\angle\alpha-\beta}{sin\angle\psi+\beta}$ тогда если докажем что $\frac{QE\cdot AE\cdot BF}{QF\cdot AF\cdot BE}=1$ то задача решена.

поскольку $PFQE$ гармоничный то $\frac{QF}{QE}=\frac{PF}{PE}$

рассмотрим треугольники $\triangle AFE$,$\triangle BPE$,$\triangle BPF$ из теоремы синусов получим следущее:

$\frac{AE}{AF}=\frac{sin\angle x}{sin\angle y}$, \quad

$\frac{PE}{BE}=\frac{sin\angle\gamma}{sin\angle x}$

$\frac{BF}{PF}=\frac{sin\angle y}{sin\angle\gamma}$

$\frac{BF\cdot PE\cdot AE}{AF\cdot BE\cdot PF}$=$\frac{sin\angle x}{sin\angle y} \cdot \frac{sin\angle\gamma}{sin\angle x} \cdot \frac{sin\angle y}{sin\angle\gamma}$=1

пункт b)

Из доказанного выше $PFQE$ гармонический четырехугольник и так как $PT$ медиана, тогда $PQ$ - симедиана, откуда $\angle FPQ = \angle EPT$ значит $\angle FPT = \angle QPE$