қазақша
русскийXI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2012 год
Задача №1. Трапеция $ABCD$, где $BC||AD$, вписана в окружность, $E$ — середина дуги $AD$ этой окружности, не содержащей точку $C$. Пусть $F$ — основание перпендикуляра, опущенного из $E$ на прямую, касающуюся окружности в точке $C$. Докажите, что $BC=2CF$.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В каждую клетку таблицы $4 \times4$, в которой строки помечены числами $1,2,3,4$, а столбцы — буквами $a,b,c,d$, записано одно число: $0$ или $1$. Такая таблица называется допустимой, если в каждой ее строке и в каждом столбце стоят ровно по две единицы. Определите количество допустимых таблиц.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть $n > 1$ — целое число. Определите наибольший общий делитель множества чисел $\left\{ \left( \begin{matrix}
2n \\
2i+1 \\
\end{matrix} \right):0 \le i \le n-1 \right\}$, т.е. наибольшее целое положительное число, делящее $\left( \begin{matrix}
2n \\
2i+1 \\
\end{matrix} \right)$ без остатка для каждого $i = 0, 1, ..., n–1$. (Здесь $\left( \begin{matrix}
m \\
l \\
\end{matrix} \right)=\text{C}_{m}^{l}=\frac{m\text{!}}{l\text{!}\left( m-l \right)\text{!}}$ – биномиальный коэффициент.)
(
А. Джумадильдаев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что для любого целого положительного $n$ среднее арифметическое чисел $\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ лежит на отрезке $\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)