XI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2012 год

Задача №1. Трапеция

$ABCD$ , где

$BC||AD$ , вписана в окружность,

$E$ — середина дуги

$AD$ этой окружности, не содержащей точку

$C$ . Пусть

$F$ — основание перпендикуляра, опущенного из

$E$ на прямую, касающуюся окружности в точке

$C$ . Докажите, что

$BC=2CF$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Задача №2. В каждую клетку таблицы

$4 \times4$ , в которой строки помечены числами

$1,2,3,4$ , а столбцы — буквами

$a,b,c,d$ , записано одно число:

$0$ или

$1$ . Такая таблица называется допустимой, если в каждой ее строке и в каждом столбце стоят ровно по две единицы. Определите количество допустимых таблиц. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пусть

$n > 1$ — целое число. Определите наибольший общий делитель множества чисел

$\left\{ \left( \begin{matrix} 2n \\ 2i+1 \\ \end{matrix} \right):0 \le i \le n-1 \right\}$ , т.е. наибольшее целое положительное число, делящее

$\left( \begin{matrix} 2n \\ 2i+1 \\ \end{matrix} \right)$ без остатка для каждого

$i = 0, 1, ..., n–1$ . (Здесь

$\left( \begin{matrix} m \\ l \\ \end{matrix} \right)=\text{C}_{m}^{l}=\frac{m\text{!}}{l\text{!}\left( m-l \right)\text{!}}$ – биномиальный коэффициент.) ( А. Джумадильдаев )
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для любого целого положительного

$n$ среднее арифметическое чисел

$\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ лежит на отрезке

$\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$ . ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

результаты