XI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2012 год

Пусть $n > 1$ — целое число. Определите наибольший общий делитель множества чисел $\left\{ \left( \begin{matrix} 2n \\ 2i+1 \\ \end{matrix} \right):0 \le i \le n-1 \right\}$, т.е. наибольшее целое положительное число, делящее $\left( \begin{matrix} 2n \\ 2i+1 \\ \end{matrix} \right)$ без остатка для каждого $i = 0, 1, ..., n–1$. (Здесь $\left( \begin{matrix} m \\ l \\ \end{matrix} \right)=\text{C}_{m}^{l}=\frac{m\text{!}}{l\text{!}\left( m-l \right)\text{!}}$ – биномиальный коэффициент.) ( А. Джумадильдаев )