12-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2012 жыл

Есеп №1. Шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ трапециясында

$BC \parallel AD$ . Осы шеңбердің (

$C$ нүктесі жатпайтын)

$AD$ доғасының ортасын

$E$ деп белгілейік.

$E$ нүктесінен шеңбердің

$C$ нүктесі арқылы өтетін жанамасына түсірілген перпендикулярдың табанын

$F$ деп белгілейік.

$BC=2CF$ теңдігін дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Өлшемі

$4\times 4$ болатын кестенің жолдары 1, 2, 3, 4 сандарымен, ал бағандары

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ әріптерімен белгіленген және оның әрбір торкөзіне 0 немесе 1 жазылған. Егер осы кестенің әрбір жолында және әрбір бағанында дәл екі бірлік жазылған болса, оны жарамды деп атаймыз. Жарамды кестелердің санын анықтаңдар. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Бізге бүтін

$n > 1$ саны берілген.

$\left\{ C_{2n}^{2i+1}:0\le i\le n-1 \right\}$ сандар жиынының ең үлкен ортақ бөлгішін, яғни әрбір

$i = 0, 1, \ldots, n-1$ үшін

$C_{2n}^{2i+1}$ санын қалдықсыз бөлетін ең үлкен оң бүтін санды анықтаңдар. (Мұнда

$C_{m}^{l}=\frac{m!}{l!\left( m-l \right)!}$ — биномдық коэффициент.) ( А. Джумадильдаев )
комментарий/решение

Есеп №4. Кез келген оң бүтін n үшін

$\sqrt[1]{1},\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\ldots ,\sqrt[n]{n}$ сандарының арифметикалық ортасы

$\left[ 1,1+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right]$ аралығында жататынын дәлелдеңдер. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

результаты