12-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2012 жыл
Есеп №1. Шеңберге іштей сызылған ABCD трапециясында BC∥AD. Осы шеңбердің (C нүктесі жатпайтын) AD доғасының ортасын E деп белгілейік. E нүктесінен шеңбердің C нүктесі арқылы өтетін жанамасына түсірілген перпендикулярдың табанын F деп белгілейік. BC=2CF теңдігін дәлелдеңдер.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Өлшемі 4×4 болатын кестенің жолдары 1, 2, 3, 4 сандарымен, ал бағандары a, b, c, d әріптерімен белгіленген және оның әрбір торкөзіне 0 немесе 1 жазылған. Егер осы кестенің әрбір жолында және әрбір бағанында дәл екі бірлік жазылған болса, оны жарамды деп атаймыз. Жарамды кестелердің санын анықтаңдар.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Бізге бүтін n>1 саны берілген. {C2i+12n:0≤i≤n−1} сандар жиынының ең үлкен ортақ бөлгішін, яғни әрбір i=0,1,…,n−1 үшін C2i+12n санын қалдықсыз бөлетін ең үлкен оң бүтін санды анықтаңдар. (Мұнда Clm=m!l!(m−l)! — биномдық коэффициент.)
(
А. Джумадильдаев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Кез келген оң бүтін n үшін 1√1,2√2,3√3,…,n√n сандарының арифметикалық ортасы [1,1+2√2√n] аралығында жататынын дәлелдеңдер.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)