III математическая олимпиада «Шелковый путь», 2004 год
Задача №1. Найдите все функции f:R→R, удовлетворяющие условию (x+y)(f(x)−f(y))=(x−y)f(x+y) при всех действительных x и y.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все простые числа p, для которых существуют целые числа m и n,
удовлетворяющие условиям p=m2+n2 и p | m3+n3−4.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Вписанная окружность ΔABC с центром в точке I касается сторон
AB и AC в точках P и Q, соответственно. BI и CI пересекают PQ в точках K и L, соответственно.
Докажите, что описанная окружность ΔILK касается вписанной окружности ΔABC тогда и только тогда,
когда AB+AC=3BC.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть дано целое число n≥2. Группа людей называется n-компактной,
если для любого человека из группы можно найти отличных от него n людей, знакомых друг с другом.
Найдите максимально возможное значение N такое, что любая n-компактная группа из N людей содержит
подгруппу из n+1 людей, знакомых друг с другом.
комментарий/решение
комментарий/решение