Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

III математическая олимпиада «Шелковый путь», 2004 год


Задача №1.  Найдите все функции f:RR, удовлетворяющие условию (x+y)(f(x)f(y))=(xy)f(x+y) при всех действительных x и y.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все простые числа p, для которых существуют целые числа m и n, удовлетворяющие условиям p=m2+n2 и p | m3+n34. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Вписанная окружность ΔABC с центром в точке I касается сторон AB и AC в точках P и Q, соответственно. BI и CI пересекают PQ в точках K и L, соответственно. Докажите, что описанная окружность ΔILK касается вписанной окружности ΔABC тогда и только тогда, когда AB+AC=3BC.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть дано целое число n2. Группа людей называется n-компактной, если для любого человека из группы можно найти отличных от него n людей, знакомых друг с другом. Найдите максимально возможное значение N такое, что любая n-компактная группа из N людей содержит подгруппу из n+1 людей, знакомых друг с другом.
комментарий/решение
результаты