III математическая олимпиада «Шелковый путь», 2004 год

Вписанная окружность $\Delta ABC$ с центром в точке $I$ касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$, соответственно. $BI$ и $CI$ пересекают $PQ$ в точках $K$ и $L$, соответственно. Докажите, что описанная окружность $\Delta ILK$ касается вписанной окружности $\Delta ABC$ тогда и только тогда, когда $AB + AC = 3 BC$.

Комментарий/решение

Пусть есть касание в точке $T$. По лемме $(255)$: $BL\bot CI$ и $CK\bot BI$, откуда ортоцентр $T'$ треугольника $\triangle BIC$ лежит на $(ILK)$, но знаем, что радиус изогонален высоте, откуда $T'I$ проходит через центр $(ILK)$, а значит $T$ и $T'$ совпадают. Далее просто счет:

$$r=\frac{LK}{sin(90^\circ +\frac{\alpha}{2})}=\frac{LK}{cos \frac{\alpha}{2} }, \frac{BC}{LK}=\frac{1}{cos(90^\circ -\frac{\alpha}{2})}=\frac{1}{sin\frac{\alpha}{2}}\Leftrightarrow BC=r\cdot ctg \angle \frac{\alpha}{2}=AP,$$

но $AP=\frac{AB+AC-BC}{2}=BC\Leftrightarrow AB+AC=3BC$.

В ином случае из того же счета имеем, что если $T$ - ортоцентр $\triangle BIC$, то $TI=r$, но $\angle TLI=\angle TKI=90^\circ$, поэтому $(ILK)$ касается вписанной.