4-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2004 жыл

Есеп №1. Кез келген

$x$ және

$y$ үшін

$(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кейбір

$m$ және

$n$ бүтін сандары үшін

$p={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$ және

$p|{{m}^{3}}+{{n}^{3}}-4$ шарттарын қанағаттандыратын барлық

$p$ жай сандарын тап. ( А. Васильев )
комментарий/решение(3)

Есеп №3. Центрі

$I$ нүктесі болатын,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелерінде жанайды.

$BI$ және

$CI$ түзулері

$PQ$ түзуін сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды. Онда

$ILK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберді тек қана

$|AB| + |AC| = 3|BC|$ болғанда ғана жанайтынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Бір

$n\ge 2$ бүтін саны белгіленген. Егер топтың кез келген адамынан басқа өзара таныс

$n$ адам табылса, осы адамдар тобын

$n$ -қомақты дейміз. Мынадай шартты қанағаттандыратын

$N$ санының максимал мүмкін мәнін табыңдар:

$N$ адамнан тұратын кез келген

$n$ -қомақты топтың өзара таныс

${n+1}$ адамнан тұратын ішкі тобы табылады.
комментарий/решение

результаты