Processing math: 18%

III математическая олимпиада «Шелковый путь», 2004 год


Найдите все простые числа p, для которых существуют целые числа m и n, удовлетворяющие условиям p=m2+n2 и p | m3+n34. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   3
4 года 7 месяца назад #

Ответ: p=2,5,13

Для p=2 подходит m=n=1

Далее p>2, очевидно, что m,n0, (m,n)=(m,p)=(n,p)=1

Заметим, что m^3+n^3-4\equiv -n^2*m-m^2*n-4=-mn(m+n)-4\pmod{p}

значит p\mid mn(m+n)+4\mid (mn(m+n))^2-4^2\quad(\color{red}1)

Тогда 0\equiv (mn)^2(m+n)^2-16\equiv 2(mn)^3-16=2((mn)^3-8)=

=2(mn-2)((mn)^2+2mn+4)\pmod p

1) случай : p\mid mn-2, но p=m^2+n^2\ge 2|mn|,

откуда либо mn-2=0, либо 2|mn|\le m^2+n^2\le |mn-2|.

Если mn=2, то p=5, для которого подходит m=2, n=1

Если 2|mn|\le | mn-2|, то |mn|+2\ge |mn-2|\ge 2|mn|,

или 2\ge |mn|\implies |mn|=1,2\implies p=2,5\implies p=5

2) случай : p\mid (mn)^2+2mn+4

Тогда p\mid [(mn)^2+2mn+4]-[mn(m+n)+4]=mn(mn+2-m-n),

но потому как (mn,p)=1, то p\mid mn-m-n+2\quad(\color{red}2)

Откуда

2|mn|\le m^2+n^2=p\le |mn-m-n+2|\le | mn|+|m|+|n|+2

или 0\le (|m|-1)(|n|-1)\le 3,

пусть a=|m|, b=|n|, тогда (a-1)(b-1)=0,1,2,3

\mathrm i) (a-1)(b-1)=1,3\implies 2\mid a,b, что невозможно

\mathrm {ii}) (a-1)(b-1)=2\implies p=a^2+b^2=2^2+3^2=13,

для p=13 подходит m=-2,n=-3

\mathrm {iii}) (a-1)(b-1)=0, БОО пусть b=1,

тогда n=1,-1

1] n=1\implies m^2+1=p\mid m(m+1)+4\implies m^2+1\mid m+3

\implies 2|m|\le m^2+1\le |m+3|\le |m|+3\implies |m|\le 3\implies p=5

2] n=-1\implies m^2+1=p\mid -m(m-1)+4\implies m^2+1\mid -m+5

\implies 2|m|\le m^2+1\le |-m+5|\le |m|+5\implies |m|\le 5\implies

\implies p=5,17,

но для p=17 не сущ. m,n удовлетворяющие условиям задачи

(легко убедиться перебором)

  6
2 года назад #

p=13 не подходит вроде

  8
2 года назад #

логично что m,n \in N откудо m^3+n^3-4=x(m^2+n^2)

m^2(m-x)+n^2(n-x)=4

n,m\geq 2 \Rightarrow m^2(m-x)+n^2(n-x)>4

m=2 \Rightarrow n=1 \Rightarrow p=5 , 5 \equiv 0 \pmod {5}

m=n=1 \Rightarrow p=2 -2\equiv 0 \pmod {2}