Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышындағы $\angle C$ бұрышының биссектрисасы $AB$ гипотенузасын $D$ нүктесінде қияды, ал $M$ нүктесі — $AD$ кесіндісінің ортасы. $A$ және $F$ нүктелері $CD$ түзуінің әртүрлі жағында жататындай етіп, бір қабырғасы $CD$ болатын $CDEF$ шаршысы салынған. $\angle ACM=\angle FAC$ екенін дәлелде. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Очевидно что точка $E$ будет лежат на прямой $BC$ , продлим прямую $DE$ до пересечения со стороной $AC$ получим прямоугольный треугольник $CDL$ , $L \in AC$ , так как $CD$ биссектриса , получим что $LD=CD=CF$ то есть $CFDL$ параллелограмм , значит $DF || AC$ , продлим в два раза прямую (медиану) $CM=MN$ , получим так же параллелограмм $CADN$ , откуда $AN=CD$ но $CD=CF$ так как квадрат , значит $FCAN$ трапеция (равнобедренная) , откуда следует $\angle CAF = \angle ACN = \angle ACM$ .

Еще одно решение: достраиваем параллелограмм $ACDL$. Заметим, что $F, D$ и $L$ лежат на $1$ прямой, ведь $DF$ перпендикулярен $BC$, а $AC$ параллелен $DL$,то есть $ALFC -$трапеция, причем вписанная, $\Rightarrow \angle CAF= \angle CLF = \angle ACL$, ч.т.д.