Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Биссектриса угла C прямоугольного треугольника ABC пересекает
гипотенузу AB в точке D и точка M — середина AD. На CD
как на стороне построен квадрат CDEF так, что точки A и F лежат
по разные стороны от прямой CD. Докажите, что ∠ACM=∠FAC.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В некоторой организации участвуют 100 стран. Некоторые из этих
стран могут образовать сообщества, но число стран в одном сообществе
не должно превосходить 50. Известно, что любые две страны из
организации является членом некоторого сообщества. Какое минимальное
количество сообществ создано внутри организации?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. На доске написаны числа 5, 7 и 9. Если на доске написаны числа a, b и a>b, то за один ход на доске можно написать новое число 5a−4b. Выясните:
а) какое наибольшее число, не превосходящее 2004, может быть записано на доске?
б) за какое наименьшее число ходов оно может быть получено?
комментарий/решение(3)
а) какое наибольшее число, не превосходящее 2004, может быть записано на доске?
б) за какое наименьшее число ходов оно может быть получено?
комментарий/решение(3)
Задача №5. Даны числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n. При каких значениях n эти числа можно так объединить в n пар, чтобы сумма чисел, стоящих в каждой паре, давали при делении на n различные остатки?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №6. Найдите все действительные решения системы:
{x2=y3−3y2+2y,y2=x3−3x2+2x.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. В данном множестве A целых положительных чисел верно условие:
для любых различных x,y∈A выполняется неравенство |x−y|≥xy30.
Какое максимальное количество элементов может содержать данное множество A?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №8. Периметр треугольника ABC, где AB<AC, в 7 раз больше длины BC. Вписанная окружность треугольника касается стороны BC в точке E, и диаметр DE этой окружности пересекает медиану из вершины A в точке F. Найдите отношение DE:DF.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)