Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Биссектриса угла C прямоугольного треугольника ABC пересекает гипотенузу AB в точке D и точка M — середина AD. На CD как на стороне построен квадрат CDEF так, что точки A и F лежат по разные стороны от прямой CD. Докажите, что ACM=FAC. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  В некоторой организации участвуют 100 стран. Некоторые из этих стран могут образовать сообщества, но число стран в одном сообществе не должно превосходить 50. Известно, что любые две страны из организации является членом некоторого сообщества. Какое минимальное количество сообществ создано внутри организации?
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найдите целую часть числа 11+2+13+4+15+6++12003+2004.
комментарий/решение(6)
Задача №4.  На доске написаны числа 5, 7 и 9. Если на доске написаны числа a, b и a>b, то за один ход на доске можно написать новое число 5a4b. Выясните:
а) какое наибольшее число, не превосходящее 2004, может быть записано на доске?
б) за какое наименьшее число ходов оно может быть получено?
комментарий/решение(3)
Задача №5.  Даны числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, , n, n. При каких значениях n эти числа можно так объединить в n пар, чтобы сумма чисел, стоящих в каждой паре, давали при делении на n различные остатки?
комментарий/решение(3)
Задача №6.  Найдите все действительные решения системы: {x2=y33y2+2y,y2=x33x2+2x.
комментарий/решение(1)
Задача №7.  В данном множестве A целых положительных чисел верно условие: для любых различных x,yA выполняется неравенство |xy|xy30. Какое максимальное количество элементов может содержать данное множество A?
комментарий/решение(3)
Задача №8.  Периметр треугольника ABC, где AB<AC, в 7 раз больше длины BC. Вписанная окружность треугольника касается стороны BC в точке E, и диаметр DE этой окружности пересекает медиану из вершины A в точке F. Найдите отношение DE:DF.
комментарий/решение(1)