Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
1)x>y⇒x−y≥xy30⇒x(30−y)≥30y⇒30≥y>0
2)x<y⇒y−x≥xy30⇒y(30−x)≥30x⇒30≥x>0
αxy=(x,y)⇒XY=(α11α12...α1,30α21α22...α2,30............α30,1α30,2...α30,30)
x≠y⇒XY−diag{XY}=(0α12...α1,30α210...α2,30............α30,1α30,2...0)
∑max(XY−diag{XY})=‖0α12...α1,30α210...α2,30............α30,1α30,2...0‖=302−30=870
OTBET:870
БОО x>y, тогда 30x−30y≥xy, 30x−xy−30y+900≥900, x(30−y)+30(30−y)=(30−y)(30+x)≥900. Допустим, что у нас есть хотя бы 31 чисел, тогда найдутся x и y, что x>y≥30, тогда для этих x и y имеем 900≤(30−y)(30+x)≤0, противоречие. Отсюда следует, что чисел максимум 30. Далее рассмотрим числа 6 и 7, они не могут одновременно присутствовать в нашем множестве, так как 24∗37=288<900. Оставим число 6 для наибольшего количества чисел в нашем множестве, следующее число - 8. Если следующее число 8, тогда чисел 9 и 10 не может быть, следующее число - 11 и т.д. Итого получаем числа 1,2,3,4,5,6,8,11,18,45.
Ответ:10
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.