Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
Комментарий/решение:
1)x>y⇒x−y≥xy30⇒x(30−y)≥30y⇒30≥y>0
2)x<y⇒y−x≥xy30⇒y(30−x)≥30x⇒30≥x>0
αxy=(x,y)⇒XY=(α11α12...α1,30α21α22...α2,30............α30,1α30,2...α30,30)
x≠y⇒XY−diag{XY}=(0α12...α1,30α210...α2,30............α30,1α30,2...0)
∑max(XY−diag{XY})=‖
\textbf{OTBET:}870
БОО x>y, тогда 30x-30y \geq xy, 30x-xy-30y+900 \geq 900, x(30-y)+30(30-y)=(30-y)(30+x) \geq 900. Если есть хотя бы 870 таких чисел, то найдутся такие x и y, что x,y>30, тогда (30-y)(30+x) \geq 900 не выполняется, так как 30-y будет отрицательным, а 30+x - нет, противоречие
БОО x>y, тогда 30x-30y \geq xy, 30x-xy-30y+900 \geq 900, x(30-y)+30(30-y)=(30-y)(30+x) \geq 900. Допустим, что у нас есть хотя бы 31 чисел, тогда найдутся x и y, что x>y \geq 30, тогда для этих x и y имеем 900 \leq (30-y)(30+x) \leq 0, противоречие. Отсюда следует, что чисел максимум 30. Далее рассмотрим числа 6 и 7, они не могут одновременно присутствовать в нашем множестве, так как 24*37=288<900. Оставим число 6 для наибольшего количества чисел в нашем множестве, следующее число - 8. Если следующее число 8, тогда чисел 9 и 10 не может быть, следующее число - 11 и т.д. Итого получаем числа 1,2,3,4,5,6,8,11,18, 45.
Ответ:10
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.