Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып


Оң бүтін сандардан тұратын A жиыны мына шартты қанағаттандырады: кез келген әртүрлі x,yA үшін |xy|xy30. Ең көп дегенде A-ның қанша элементі болуы мүмкін?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 8 месяца назад #

1)x>yxyxy30x(30y)30y30y>0

2)x<yyxxy30y(30x)30x30x>0

αxy=(x,y)XY=(α11α12...α1,30α21α22...α2,30............α30,1α30,2...α30,30)

xyXYdiag{XY}=(0α12...α1,30α210...α2,30............α30,1α30,2...0)

max(XYdiag{XY})=0α12...α1,30α210...α2,30............α30,1α30,2...0=30230=870

OTBET:870

  1
3 года 11 месяца назад #

БОО x>y, тогда 30x30yxy, 30xxy30y+900900, x(30y)+30(30y)=(30y)(30+x)900. Если есть хотя бы 870 таких чисел, то найдутся такие x и y, что x,y>30, тогда (30y)(30+x)900 не выполняется, так как 30y будет отрицательным, а 30+x - нет, противоречие

  1
3 года 11 месяца назад #

БОО x>y, тогда 30x30yxy, 30xxy30y+900900, x(30y)+30(30y)=(30y)(30+x)900. Допустим, что у нас есть хотя бы 31 чисел, тогда найдутся x и y, что x>y30, тогда для этих x и y имеем 900(30y)(30+x)0, противоречие. Отсюда следует, что чисел максимум 30. Далее рассмотрим числа 6 и 7, они не могут одновременно присутствовать в нашем множестве, так как 2437=288<900. Оставим число 6 для наибольшего количества чисел в нашем множестве, следующее число - 8. Если следующее число 8, тогда чисел 9 и 10 не может быть, следующее число - 11 и т.д. Итого получаем числа 1,2,3,4,5,6,8,11,18,45.

Ответ:10