Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Тікбұрышты $ABC$ үшбұрышындағы $\angle C$ бұрышының биссектрисасы $AB$ гипотенузасын $D$ нүктесінде қияды, ал $M$ нүктесі — $AD$ кесіндісінің ортасы. $A$ және $F$ нүктелері $CD$ түзуінің әртүрлі жағында жататындай етіп, бір қабырғасы $CD$ болатын $CDEF$ шаршысы салынған. $\angle ACM=\angle FAC$ екенін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. Бір ұйымға 100 ел мүше екен. Олардың кебіреулері қоғамдастық құра алады, бірақ бір қоғамдастықтағы елдердің саны 50-ден аспау керек. Кез келген екі елдің бір қоғамдастыққа кіретіні белгілі болса, ұйымда кемінде қанша қоғамдастық құрылған?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Санның бүтін бөлігін табыңыз: $\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{2003}+\sqrt{2004}}$.
комментарий/решение(6)

---

Есеп №4. Тақтаға 5, 7 және 9 сандары жазылған. Егер тақтаға $a$, $b$ сандары, $a > b$, жазылған болса, онда бір жүрісте тақтаға жаңа $5a-4b$ санын жазуға болады. Мынаны анықтаңдар:
а) ең үлкен дегенде 2004-дан аспайтын сандардың қайсысы тақтаға жазылуы мүмкін?
б) ол сан ең аз дегенде қанша жүрісте алынуы мүмкін?
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5. Бізге 1, 1, 2, 2, 3, 3, $\ldots$, $n$, $n$ сандары берілген. Онда $n$-нің қандай мәндері үшін осы сандарды екі-екіден мына шартты қанағаттандыратындай етіп $n$ жұпқа бөлуге болады: әртүрлі парлардағы сандардың қосындысы $n$-ға бөлгенде әртүрлі қалдық беру керек?
комментарий/решение(3)

---

Есеп №6. Жүйенің барлық нақты шешімдерін табыңыздар: $\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}={{y}^{3}}-3{{y}^{2}}+2y, \\ {{y}^{2}}={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x. \\ \end{matrix} \right.$
комментарий/решение(1)

---

Есеп №7. Оң бүтін сандардан тұратын $A$ жиыны мына шартты қанағаттандырады: кез келген әртүрлі $x,y\in A$ үшін ${|x-y|}\ge \dfrac{xy}{30}$. Ең көп дегенде $A$-ның қанша элементі болуы мүмкін?
комментарий/решение(3)

---

Есеп №8. Периметрі $BC$ қабырғасының ұзындығынан 7 есе үлкен $ABC$ үшбұрышында $AB < AC$ екені белгілі. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер $BC$ қабырғасын $E$ нүктесінде жанайды, ал осы шеңбердің $DE$ диаметрі $A$ төбесінен түсірілген медиананы $F$ нүктесінде қияды. Олай болса, $DF:FE$ қатынасын табыңыз.
комментарий/решение(1)

---