Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Тақтаға 5, 7 және 9 сандары жазылған. Егер тақтаға $a$, $b$ сандары, $a > b$, жазылған болса, онда бір жүрісте тақтаға жаңа $5a-4b$ санын жазуға болады. Мынаны анықтаңдар:
а) ең үлкен дегенде 2004-дан аспайтын сандардың қайсысы тақтаға жазылуы мүмкін?
б) ол сан ең аз дегенде қанша жүрісте алынуы мүмкін?

Комментарий/решение

а) Пусть наибольшее число - $2004$, тогда $5a-4b \equiv a \equiv 0(mod$ $2)$, Аналогично для $a$ получаем, что существует $a_1 \equiv 0(mod$ $2)$, $a_2$ и т.д. Осталось заметить, что изначально у нас только нечетные числа, противоречие.

Пусть наибольшее число - $2003$, тогда $5a-4b=a+4(a-b) \equiv a(mod$ $8), \Rightarrow a \equiv 3(mod$ $8)$. Раз $a \equiv 3(mod$ $8)$, то найдется $a_1$, что $a_1 \equiv 3(mod$ $8), a_2$ и т.д., но изначально у нас числа, дающие остатки $1, 5$ и $7 (mod$ $8)$, противоречие.

Пусть наибольшее число - $2002$, противоречие.

Пусть наибольшее число - $2001$, тогда $5a-4b=2001 \equiv -4b(mod$ $5)$, то есть $b \equiv 1(mod$ $5)$, но изначальные числа не таковы.

Пусть наибольшее число - $2000$, противоречие.

Пусть наибольшее число - $1999$, пример: $5,7,9,15,17,25,39,49,95,439,1999$. По данным числам $5, 7$ и $9$ можно заполучить все эти числа

Я не понял почему пример для $1999$ который ты показал самый наименьший? Не надо ли доказать это?

Так он же доказал что больше 1999 не может быть, разобрав случаи 2000,2001..2004

; он b не решил.