Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс


На доске написаны числа 5, 7 и 9. Если на доске написаны числа a, b и a>b, то за один ход на доске можно написать новое число 5a4b. Выясните:
а) какое наибольшее число, не превосходящее 2004, может быть записано на доске?
б) за какое наименьшее число ходов оно может быть получено?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
3 года 9 месяца назад #

а) Пусть наибольшее число - 2004, тогда 5a4ba0(mod 2), Аналогично для a получаем, что существует a10(mod 2), a2 и т.д. Осталось заметить, что изначально у нас только нечетные числа, противоречие.

Пусть наибольшее число - 2003, тогда 5a4b=a+4(ab)a(mod 8),a3(mod 8). Раз a3(mod 8), то найдется a1, что a13(mod 8),a2 и т.д., но изначально у нас числа, дающие остатки 1,5 и 7(mod 8), противоречие.

Пусть наибольшее число - 2002, противоречие.

Пусть наибольшее число - 2001, тогда 5a4b=20014b(mod 5), то есть b1(mod 5), но изначальные числа не таковы.

Пусть наибольшее число - 2000, противоречие.

Пусть наибольшее число - 1999, пример: 5,7,9,15,17,25,39,49,95,439,1999. По данным числам 5,7 и 9 можно заполучить все эти числа

  1
3 года 9 месяца назад #

Я не понял почему пример для 1999 который ты показал самый наименьший? Не надо ли доказать это?

пред. Правка 2   0
3 года 9 месяца назад #

Так он же доказал что больше 1999 не может быть, разобрав случаи 2000,2001..2004

; он b не решил.