Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс
На доске написаны числа 5, 7 и 9. Если на доске написаны числа a, b и a>b, то за один ход на доске можно написать новое число 5a−4b. Выясните:
а) какое наибольшее число, не превосходящее 2004, может быть записано на доске?
б) за какое наименьшее число ходов оно может быть получено?
посмотреть в олимпиаде
а) какое наибольшее число, не превосходящее 2004, может быть записано на доске?
б) за какое наименьшее число ходов оно может быть получено?
Комментарий/решение:
а) Пусть наибольшее число - 2004, тогда 5a−4b≡a≡0(mod 2), Аналогично для a получаем, что существует a1≡0(mod 2), a2 и т.д. Осталось заметить, что изначально у нас только нечетные числа, противоречие.
Пусть наибольшее число - 2003, тогда 5a−4b=a+4(a−b)≡a(mod 8),⇒a≡3(mod 8). Раз a≡3(mod 8), то найдется a1, что a1≡3(mod 8),a2 и т.д., но изначально у нас числа, дающие остатки 1,5 и 7(mod 8), противоречие.
Пусть наибольшее число - 2002, противоречие.
Пусть наибольшее число - 2001, тогда 5a−4b=2001≡−4b(mod 5), то есть b≡1(mod 5), но изначальные числа не таковы.
Пусть наибольшее число - 2000, противоречие.
Пусть наибольшее число - 1999, пример: 5,7,9,15,17,25,39,49,95,439,1999. По данным числам 5,7 и 9 можно заполучить все эти числа
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.