Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

В некоторой организации участвуют 100 стран. Некоторые из этих стран могут образовать сообщества, но число стран в одном сообществе не должно превосходить 50. Известно, что любые две страны из организации является членом некоторого сообщества. Какое минимальное количество сообществ создано внутри организации?

Комментарий/решение

Рассмотрим любую страну $a_1$, поскольку число стран в сообществе максимум $50$, а любые две страны являются членом какого-то сообщества, то сообществ, в которых есть эта страна, хотя бы $3$( Дирихле), если $S=$суммарное число всех стран в сообществ, тогда $$3*100 \leq S \leq 50*n, \Rightarrow n \geq 6,$$ где $n$- число сообществ. Пример для шести можно придумать