Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

Бір ұйымға 100 ел мүше екен. Олардың кебіреулері қоғамдастық құра алады, бірақ бір қоғамдастықтағы елдердің саны 50-ден аспау керек. Кез келген екі елдің бір қоғамдастыққа кіретіні белгілі болса, ұйымда кемінде қанша қоғамдастық құрылған?

Комментарий/решение

Рассмотрим любую страну $a_1$, поскольку число стран в сообществе максимум $50$, а любые две страны являются членом какого-то сообщества, то сообществ, в которых есть эта страна, хотя бы $3$( Дирихле), если $S=$суммарное число всех стран в сообществ, тогда $$3*100 \leq S \leq 50*n, \Rightarrow n \geq 6,$$ где $n$- число сообществ. Пример для шести можно придумать