Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Какие положительные рациональные числа можно представить в виде x20y23z2024, где x,y,z — натуральные числа? ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 1 месяца назад #

Предположим:

x20y23/z2024=a/b, где a,b - натуральные. Заметим 2024:23=88=>2001:23=87, из этого предположим что y=z87. То из этого x20/z23=a/b. Предположим что, x=anbk и z=arbt =>

a20nb20k/a23rb23t=a/b => 20n23r=1,23t20k=1. Подбором поймём n=15,r=13, t=87,k=100 и тем самым поймем что можем представить любое рациональное число.

пред. Правка 3   0
1 года назад #

Ответ. Все положительные рациональные числа.

Решение. Докажем, что все положительные рациональные числа можно записать таким образом. Возьмем y=z87, тогда x20y23z2024=x20z23.

Для любых натуральных чисел a и b

ab=(a15b8)20(a13b7)23

уравнение выполнено, следовательно все положительные рациональные числа можно будет записать в заданном виде.