Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Какие положительные рациональные числа можно представить в виде x20y23z2024, где x,y,z — натуральные числа?
(
А. Васильев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Предположим:
x20∗y23/z2024=a/b, где a,b - натуральные. Заметим 2024:23=88=>2001:23=87, из этого предположим что y=z87. То из этого x20/z23=a/b. Предположим что, x=an∗bk и z=ar∗bt =>
a20n∗b20k/a23r∗b23t=a/b => 20n−23r=1,23t−20k=1. Подбором поймём n=15,r=13, t=87,k=100 и тем самым поймем что можем представить любое рациональное число.
Ответ. Все положительные рациональные числа.
Решение. Докажем, что все положительные рациональные числа можно записать таким образом. Возьмем y=z87, тогда x20y23z2024=x20z23.
Для любых натуральных чисел a и b
ab=(a15b8)20(a13b7)23
уравнение выполнено, следовательно все положительные рациональные числа можно будет записать в заданном виде.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.