Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Какие положительные рациональные числа можно представить в виде $\dfrac{x^{20} y^{23}}{z^{2024}},$ где $x,y,z$ — натуральные числа? ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Предположим:

$x^{20}*y^{23}/z^{2024}=a/b$, где a,b - натуральные. Заметим $2024:23=88 => 2001:23=87$, из этого предположим что $y=z^{87}$. То из этого $x^{20}/z^{23}=a/b$. Предположим что, $x=a^n*b^k$ и $z=a^r*b^t$ =>

$a^{20n}*b^{20k}/a^{23r}*b^{23t}=a/b$ => $20n-23r=1 , 23t-20k=1$. Подбором поймём $n=15, r=13$, $t=87, k=100$ и тем самым поймем что можем представить любое рациональное число.

Ответ. Все положительные рациональные числа.

Решение. Докажем, что все положительные рациональные числа можно записать таким образом. Возьмем $y=z^{87}$, тогда $$\frac{x^{20}y^{23}}{z^{2024}}= \frac{x^{20}}{z^{23}}.$$

Для любых натуральных чисел a и b

$$\dfrac{a}{b}=\frac{(a^{15}b^8)^{20}}{(a^{13}b^7)^{23}}$$

уравнение выполнено, следовательно все положительные рациональные числа можно будет записать в заданном виде.