Processing math: 1%

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Найдите все тройки простых чисел (p,q,r) такие, что pq+r=p+q+r. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
1 года 1 месяца назад #

Возведём обе стороны в квадрат:

(p – q + r)^2 = ( \sqrt{ p + q + r})^2 \Rightarrow p^2 + q^2 + r^2 - 2( pq + qr - pr) = p + q + r

p + q + r \geq \sqrt{6}

Расматривая ситуацию когда p = q = r, то единственное решение подходит это ( p, q, r) = ( 3; 3; 3)

В ситуации когда p \ne q \ne r, или p = q \ne r подходят числа 1, 1 и 2. Но число 1 считаеться и не простым, и не составным, так как лишь один делитель 1, значит единственный ответ: ( p, q, r) = (3; 3; 3)

пред. Правка 3   2
1 года 1 месяца назад #

Почему \: p+q+r \le \sqrt{6}? \: , \: а \: если \: p,q,r \gt 3?

  0
1 года 1 месяца назад #

Потому что, вместо p, q, r можно подставить 2, тем самым мы получим \sqrt{6}

пред. Правка 3   2
1 года 1 месяца назад #

Вродe обязательно разбирать случай когда p,q,r \gt 3 и значит:

p=6k_{1}±1, q=6k_{2}±1, r=6k_{3}±1 где(k_{1}, k_{2}, k_{3} целые) тогда:

I) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}-3

II) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}-1

III) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}+1

IV) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}+3

И остаётся разобрать эти случаи. Ну там нет таких p,q,r \gt 3 что p-q+r=\sqrt{p+q+r}.

пред. Правка 3   3
4 месяца 26 дней назад #

Пусть

k=\sqrt{p+q+r}

следовательно

k^2-2q=k

q=\frac{k(k-1)}{2}

заметим что

k \geq \sqrt6

так как оно должно быть целым

k>3

если k четный то

k \geq 4

k-1\geq 3

следует

\frac{k(k-1)}{2}\geq 6

не сложно заметит что при этом q будет составным

противном случае

\frac{k(k-1)}{2}\geq 3

если выражение больше чем 3 то q составное, откуда q=3

следовательно p+r=6 , p=3 r=3

  0
4 месяца 26 дней назад #

Решение как бы не приятно для глаз(

Но думаю лучше предыдущего

  1
1 года 1 месяца назад #

(p-q+r)^2=p+q+r

По алгоритму Евклида

(p-q+r, p+q+r) = (2q, p-q+r)

Отсюда их НОД может быть равен 4 вещам:

(1, 2, q, 2q)

если (p-q+r, p+q+r) = 1

p-q+r=a; p+q+r=b

a^2=b

b делится на a, но тк они взаимно просты то a=1

тогда a^2=b=1=p+q+r\geq 6 Плохо

если (p-q+r, p+q+r) = 2

p-q+r=2a; p+q+r=2b

(a, b) = 1

4a^2=2b Тогда 2a^2=b. Опять по взаимно простости a = 1, b = 2 = p+q+r\geq 6 Плохо

Значит их НОД кратен q

Отсюда p+r делится на q

p+r = tq

(tq-q)^2 = tq+q

q(t-1)^2=t+1

Тогда заметим что t+1<(t-1)^2, при t\geq 4(можно доказать быстро по индукции)

Значит t = 3; 2; 1

Подставляем каждый в наше неравенство и получаем что подходит только t=2, причем q=3, а значит p+r=6. Проверяем все возможные варианты и получаем единственный ответ:

(3, 3, 3)

  3
1 года назад #

епштейн

  1
1 года 1 месяца назад #

Пусть p + r = t, тогда (t - q)^2 = t + q, \Rightarrow (t+q)(t+q-1) = 4qt, \Rightarrow (p+r+q)(p+r+q-1)=q(4p+4r) либо q \mid p+r+q либо q \mid p+r+q-1

Пусть q \mid p+r+q \Rightarrow q \mid p+r \Rightarrow p+r=kq+1, k \in \mathbb{N}, \Rightarrow (kq-q+1)^2=kq+q+1 \Rightarrow q(k-1)^2=3-k \ge 0. k \in {1,2,3} При k = 1, p+q+r = 1 невозможно, k=2, (q+1)^2=3q+1 \Rightarrow q(q-1)=0 невозможно ведь q \in P, при k=3, (2q+1)^2=4q+1 \Rightarrow 4q^2=0 также невозможно.

Значит q \mid p+r+q \Rightarrow q \mid p+r \rightarrow p+r=nq, (nq-q)^2=nq+q \Rightarrow q-1=n+2nq-n^2q, так как q>1, то n(1+2q-nq) > 0, n \in \mathbb{N} значит 1+2q-nq>0 \Rightarrow 1 > q(n-2) откуда n \in 1,2 если n=1, 0 = 2q невозможно, значит n = 2, \Rightarrow q^2 = 3q, q=3, p+r=6 откуда несложно заметить что q=p=r=3

пред. Правка 3   1
19 дней 17 часов назад #

Обозначим p − q + r = x. Тогда x =√p + q + r ≥√6, откуда x ≥ 3.

По условию x>2 = p + q + r = x + 2q, откуда x(x − 1) = 2q. Так как q простое, то

q | x или q | x − 1, т.е. x − 1 | 2 или x | 2. Но x ≥ 3, поэтому x − 1 | 2. Значит

x = 3, откуда q = 3. Тогда из условия p + r = x + q = 6, значит p = r = 3, что

удовлетворяет условию.

Ответ: (p,q,r)=3:3:3

  0
11 месяца 4 дней назад #

Ответ: (3;3;3)

Решение:

Пусть p-q+r=A, тогда A^2=p+q+r. Выразим r:

r=A^2-q-p

Подставим в первое равенство

p-q+A^2-q-p=A \Rightarrow A(A-1)=2q.

Так как q простое и 2 тоже, мы можем разделить на два случая:

1) A=2 ; A-1=q

2) A=q ; A-1=2

Разбираем оба случая, в первом противоречие, а во втором ответ:

p=q=r=3

  0
10 месяца 28 дней назад #

забыл упомянуть что A\geq \sqrt{6}, поэтому случай когда A ; A-1 = 1 не разбираем

пред. Правка 2   0
5 дней 10 часов назад #

Пусть p+q+r=x^2

x^2-2q=x

x(x-1)=2q

\frac{x(x-1)}{2}=q

a)Пусть x=2k+1

(2k+1)k=q

(Стоит учитывать что q простое число а значит что одно из множителей равна 1)

i)k=1 \Rightarrow q=3 подходит

ii)2k+1=1 \Rightarrow k=0,q=0 не подходит

b)пусть x=2k

k(2k-1)=q

i)k=1 \Rightarrow q=1 не подходит

ii)2k-1=1 \Rightarrow q=1не подходит

Получаем что q=3 и x=3 \Rightarrow p+r=6

Единственные решения для p,r это p=r=3

А значит решениями являются p=q=r=3

пред. Правка 2   1
29 дней 15 часов назад #

пред. Правка 2   2
29 дней 14 часов назад #

пред. Правка 2   1
29 дней 15 часов назад #