Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Возведём обе стороны в квадрат:
(p–q+r)2=(√p+q+r)2⇒p2+q2+r2−2(pq+qr−pr)=p+q+r
p+q+r≥√6
Расматривая ситуацию когда p=q=r, то единственное решение подходит это (p,q,r)=(3;3;3)
В ситуации когда p≠q≠r, или p=q≠r подходят числа 1, 1 и 2. Но число 1 считаеться и не простым, и не составным, так как лишь один делитель 1, значит единственный ответ: (p,q,r)=(3;3;3)
Вродe обязательно разбирать случай когда p,q,r >3 и значит:
p=6k1±1, q=6k2±1, r=6k3±1 где(k1, k2, k3 целые) тогда:
I) p+q+r=6k1+6k2+6k3-3
II) p+q+r=6k1+6k2+6k3-1
III) p+q+r=6k1+6k2+6k3+1
IV) p+q+r=6k1+6k2+6k3+3
И остаётся разобрать эти случаи. Ну там нет таких p,q,r > 3 что p-q+r=√p+q+r.
Пусть
k=√p+q+r
следовательно
k2−2q=k
q=k(k−1)2
заметим что
k≥√6
так как оно должно быть целым
k>3
если k четный то
k≥4
k−1≥3
следует
k(k−1)2≥6
не сложно заметит что при этом q будет составным
противном случае
k(k−1)2≥3
если выражение больше чем 3 то q составное, откуда q=3
следовательно p+r=6,p=3 r=3
(p−q+r)2=p+q+r
По алгоритму Евклида
(p−q+r,p+q+r)=(2q,p−q+r)
Отсюда их НОД может быть равен 4 вещам:
(1,2,q,2q)
если (p−q+r,p+q+r)=1
p−q+r=a;p+q+r=b
a2=b
b делится на a, но тк они взаимно просты то a=1
тогда a2=b=1=p+q+r≥6 Плохо
если (p−q+r,p+q+r)=2
p−q+r=2a;p+q+r=2b
(a,b)=1
4a2=2b Тогда 2a2=b. Опять по взаимно простости a=1,b=2=p+q+r≥6 Плохо
Значит их НОД кратен q
Отсюда p+r делится на q
p+r=tq
(tq−q)2=tq+q
q(t−1)2=t+1
Тогда заметим что t+1<(t−1)2, при t≥4(можно доказать быстро по индукции)
Значит t=3;2;1
Подставляем каждый в наше неравенство и получаем что подходит только t=2, причем q=3, а значит p+r=6. Проверяем все возможные варианты и получаем единственный ответ:
(3,3,3)
Пусть p+r=t, тогда (t−q)2=t+q,⇒(t+q)(t+q−1)=4qt,⇒(p+r+q)(p+r+q−1)=q(4p+4r) либо q∣p+r+q либо q∣p+r+q−1
Пусть q∣p+r+q⇒q∣p+r⇒p+r=kq+1,k∈N,⇒(kq−q+1)2=kq+q+1⇒q(k−1)2=3−k≥0. k∈1,2,3 При k=1,p+q+r=1 невозможно, k=2,(q+1)2=3q+1⇒q(q−1)=0 невозможно ведь q∈P, при k=3,(2q+1)2=4q+1⇒4q2=0 также невозможно.
Значит q∣p+r+q⇒q∣p+r→p+r=nq,(nq−q)2=nq+q⇒q−1=n+2nq−n2q, так как q>1, то n(1+2q−nq)>0,n∈N значит 1+2q−nq>0⇒1>q(n−2) откуда n∈1,2 если n=1,0=2q невозможно, значит n=2,⇒q2=3q,q=3,p+r=6 откуда несложно заметить что q=p=r=3
Обозначим p − q + r = x. Тогда x =√p + q + r ≥√6, откуда x ≥ 3.
По условию x>2 = p + q + r = x + 2q, откуда x(x − 1) = 2q. Так как q простое, то
q | x или q | x − 1, т.е. x − 1 | 2 или x | 2. Но x ≥ 3, поэтому x − 1 | 2. Значит
x = 3, откуда q = 3. Тогда из условия p + r = x + q = 6, значит p = r = 3, что
удовлетворяет условию.
Ответ: (p,q,r)=3:3:3
Ответ: (3;3;3)
Решение:
Пусть p−q+r=A, тогда A2=p+q+r. Выразим r:
r=A2−q−p
Подставим в первое равенство
p−q+A2−q−p=A ⇒ A(A−1)=2q.
Так как q простое и 2 тоже, мы можем разделить на два случая:
1) A=2;A−1=q
2) A=q;A−1=2
Разбираем оба случая, в первом противоречие, а во втором ответ:
p=q=r=3
забыл упомянуть что A≥√6, поэтому случай когда A;A−1=1 не разбираем
Пусть p+q+r=x2
x2−2q=x
x(x−1)=2q
x(x−1)2=q
a)Пусть x=2k+1
(2k+1)k=q
(Стоит учитывать что q простое число а значит что одно из множителей равна 1)
i)k=1⇒q=3 подходит
ii)2k+1=1⇒k=0,q=0 не подходит
b)пусть x=2k
k(2k−1)=q
i)k=1⇒q=1 не подходит
ii)2k−1=1⇒q=1не подходит
Получаем что q=3 и x=3 ⇒p+r=6
Единственные решения для p,r это p=r=3
А значит решениями являются p=q=r=3
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.