Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Возведём обе стороны в квадрат:
(p – q + r)^2 = ( \sqrt{ p + q + r})^2 \Rightarrow p^2 + q^2 + r^2 - 2( pq + qr - pr) = p + q + r
p + q + r \geq \sqrt{6}
Расматривая ситуацию когда p = q = r, то единственное решение подходит это ( p, q, r) = ( 3; 3; 3)
В ситуации когда p \ne q \ne r, или p = q \ne r подходят числа 1, 1 и 2. Но число 1 считаеться и не простым, и не составным, так как лишь один делитель 1, значит единственный ответ: ( p, q, r) = (3; 3; 3)
Вродe обязательно разбирать случай когда p,q,r \gt 3 и значит:
p=6k_{1}±1, q=6k_{2}±1, r=6k_{3}±1 где(k_{1}, k_{2}, k_{3} целые) тогда:
I) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}-3
II) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}-1
III) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}+1
IV) p+q+r=6k_{1}+6k_{2}+6k_{3}+3
И остаётся разобрать эти случаи. Ну там нет таких p,q,r \gt 3 что p-q+r=\sqrt{p+q+r}.
Пусть
k=\sqrt{p+q+r}
следовательно
k^2-2q=k
q=\frac{k(k-1)}{2}
заметим что
k \geq \sqrt6
так как оно должно быть целым
k>3
если k четный то
k \geq 4
k-1\geq 3
следует
\frac{k(k-1)}{2}\geq 6
не сложно заметит что при этом q будет составным
противном случае
\frac{k(k-1)}{2}\geq 3
если выражение больше чем 3 то q составное, откуда q=3
следовательно p+r=6 , p=3 r=3
(p-q+r)^2=p+q+r
По алгоритму Евклида
(p-q+r, p+q+r) = (2q, p-q+r)
Отсюда их НОД может быть равен 4 вещам:
(1, 2, q, 2q)
если (p-q+r, p+q+r) = 1
p-q+r=a; p+q+r=b
a^2=b
b делится на a, но тк они взаимно просты то a=1
тогда a^2=b=1=p+q+r\geq 6 Плохо
если (p-q+r, p+q+r) = 2
p-q+r=2a; p+q+r=2b
(a, b) = 1
4a^2=2b Тогда 2a^2=b. Опять по взаимно простости a = 1, b = 2 = p+q+r\geq 6 Плохо
Значит их НОД кратен q
Отсюда p+r делится на q
p+r = tq
(tq-q)^2 = tq+q
q(t-1)^2=t+1
Тогда заметим что t+1<(t-1)^2, при t\geq 4(можно доказать быстро по индукции)
Значит t = 3; 2; 1
Подставляем каждый в наше неравенство и получаем что подходит только t=2, причем q=3, а значит p+r=6. Проверяем все возможные варианты и получаем единственный ответ:
(3, 3, 3)
Пусть p + r = t, тогда (t - q)^2 = t + q, \Rightarrow (t+q)(t+q-1) = 4qt, \Rightarrow (p+r+q)(p+r+q-1)=q(4p+4r) либо q \mid p+r+q либо q \mid p+r+q-1
Пусть q \mid p+r+q \Rightarrow q \mid p+r \Rightarrow p+r=kq+1, k \in \mathbb{N}, \Rightarrow (kq-q+1)^2=kq+q+1 \Rightarrow q(k-1)^2=3-k \ge 0. k \in {1,2,3} При k = 1, p+q+r = 1 невозможно, k=2, (q+1)^2=3q+1 \Rightarrow q(q-1)=0 невозможно ведь q \in P, при k=3, (2q+1)^2=4q+1 \Rightarrow 4q^2=0 также невозможно.
Значит q \mid p+r+q \Rightarrow q \mid p+r \rightarrow p+r=nq, (nq-q)^2=nq+q \Rightarrow q-1=n+2nq-n^2q, так как q>1, то n(1+2q-nq) > 0, n \in \mathbb{N} значит 1+2q-nq>0 \Rightarrow 1 > q(n-2) откуда n \in 1,2 если n=1, 0 = 2q невозможно, значит n = 2, \Rightarrow q^2 = 3q, q=3, p+r=6 откуда несложно заметить что q=p=r=3
Обозначим p − q + r = x. Тогда x =√p + q + r ≥√6, откуда x ≥ 3.
По условию x>2 = p + q + r = x + 2q, откуда x(x − 1) = 2q. Так как q простое, то
q | x или q | x − 1, т.е. x − 1 | 2 или x | 2. Но x ≥ 3, поэтому x − 1 | 2. Значит
x = 3, откуда q = 3. Тогда из условия p + r = x + q = 6, значит p = r = 3, что
удовлетворяет условию.
Ответ: (p,q,r)=3:3:3
Ответ: (3;3;3)
Решение:
Пусть p-q+r=A, тогда A^2=p+q+r. Выразим r:
r=A^2-q-p
Подставим в первое равенство
p-q+A^2-q-p=A \Rightarrow A(A-1)=2q.
Так как q простое и 2 тоже, мы можем разделить на два случая:
1) A=2 ; A-1=q
2) A=q ; A-1=2
Разбираем оба случая, в первом противоречие, а во втором ответ:
p=q=r=3
забыл упомянуть что A\geq \sqrt{6}, поэтому случай когда A ; A-1 = 1 не разбираем
Пусть p+q+r=x^2
x^2-2q=x
x(x-1)=2q
\frac{x(x-1)}{2}=q
a)Пусть x=2k+1
(2k+1)k=q
(Стоит учитывать что q простое число а значит что одно из множителей равна 1)
i)k=1 \Rightarrow q=3 подходит
ii)2k+1=1 \Rightarrow k=0,q=0 не подходит
b)пусть x=2k
k(2k-1)=q
i)k=1 \Rightarrow q=1 не подходит
ii)2k-1=1 \Rightarrow q=1не подходит
Получаем что q=3 и x=3 \Rightarrow p+r=6
Единственные решения для p,r это p=r=3
А значит решениями являются p=q=r=3
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.