Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Найдите все тройки простых чисел (p,q,r) такие, что pq+r=p+q+r. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
1 года 1 месяца назад #

Возведём обе стороны в квадрат:

(pq+r)2=(p+q+r)2p2+q2+r22(pq+qrpr)=p+q+r

p+q+r6

Расматривая ситуацию когда p=q=r, то единственное решение подходит это (p,q,r)=(3;3;3)

В ситуации когда pqr, или p=qr подходят числа 1, 1 и 2. Но число 1 считаеться и не простым, и не составным, так как лишь один делитель 1, значит единственный ответ: (p,q,r)=(3;3;3)

пред. Правка 3   2
1 года 1 месяца назад #

Почемуp+q+r6?,аеслиp,q,r>3?

  0
1 года 1 месяца назад #

Потому что, вместо p,q,r можно подставить2, тем самым мы получим 6

пред. Правка 3   2
1 года 1 месяца назад #

Вродe обязательно разбирать случай когда p,q,r >3 и значит:

p=6k1±1, q=6k2±1, r=6k3±1 где(k1, k2, k3 целые) тогда:

I) p+q+r=6k1+6k2+6k3-3

II) p+q+r=6k1+6k2+6k3-1

III) p+q+r=6k1+6k2+6k3+1

IV) p+q+r=6k1+6k2+6k3+3

И остаётся разобрать эти случаи. Ну там нет таких p,q,r > 3 что p-q+r=p+q+r.

пред. Правка 3   3
4 месяца 28 дней назад #

Пусть

k=p+q+r

следовательно

k22q=k

q=k(k1)2

заметим что

k6

так как оно должно быть целым

k>3

если k четный то

k4

k13

следует

k(k1)26

не сложно заметит что при этом q будет составным

противном случае

k(k1)23

если выражение больше чем 3 то q составное, откуда q=3

следовательно p+r=6,p=3 r=3

  0
4 месяца 28 дней назад #

Решение как бы не приятно для глаз(

Но думаю лучше предыдущего

  1
1 года 1 месяца назад #

(pq+r)2=p+q+r

По алгоритму Евклида

(pq+r,p+q+r)=(2q,pq+r)

Отсюда их НОД может быть равен 4 вещам:

(1,2,q,2q)

если (pq+r,p+q+r)=1

pq+r=a;p+q+r=b

a2=b

b делится на a, но тк они взаимно просты то a=1

тогда a2=b=1=p+q+r6 Плохо

если (pq+r,p+q+r)=2

pq+r=2a;p+q+r=2b

(a,b)=1

4a2=2b Тогда 2a2=b. Опять по взаимно простости a=1,b=2=p+q+r6 Плохо

Значит их НОД кратен q

Отсюда p+r делится на q

p+r=tq

(tqq)2=tq+q

q(t1)2=t+1

Тогда заметим что t+1<(t1)2, при t4(можно доказать быстро по индукции)

Значит t=3;2;1

Подставляем каждый в наше неравенство и получаем что подходит только t=2, причем q=3, а значит p+r=6. Проверяем все возможные варианты и получаем единственный ответ:

(3,3,3)

  3
1 года 1 месяца назад #

епштейн

  1
1 года 1 месяца назад #

Пусть p+r=t, тогда (tq)2=t+q,(t+q)(t+q1)=4qt,(p+r+q)(p+r+q1)=q(4p+4r) либо qp+r+q либо qp+r+q1

Пусть qp+r+qqp+rp+r=kq+1,kN,(kqq+1)2=kq+q+1q(k1)2=3k0. k1,2,3 При k=1,p+q+r=1 невозможно, k=2,(q+1)2=3q+1q(q1)=0 невозможно ведь qP, при k=3,(2q+1)2=4q+14q2=0 также невозможно.

Значит qp+r+qqp+rp+r=nq,(nqq)2=nq+qq1=n+2nqn2q, так как q>1, то n(1+2qnq)>0,nN значит 1+2qnq>01>q(n2) откуда n1,2 если n=1,0=2q невозможно, значит n=2,q2=3q,q=3,p+r=6 откуда несложно заметить что q=p=r=3

пред. Правка 3   1
21 дней 14 часов назад #

Обозначим p − q + r = x. Тогда x =√p + q + r ≥√6, откуда x ≥ 3.

По условию x>2 = p + q + r = x + 2q, откуда x(x − 1) = 2q. Так как q простое, то

q | x или q | x − 1, т.е. x − 1 | 2 или x | 2. Но x ≥ 3, поэтому x − 1 | 2. Значит

x = 3, откуда q = 3. Тогда из условия p + r = x + q = 6, значит p = r = 3, что

удовлетворяет условию.

Ответ: (p,q,r)=3:3:3

  0
11 месяца 6 дней назад #

Ответ: (3;3;3)

Решение:

Пусть pq+r=A, тогда A2=p+q+r. Выразим r:

r=A2qp

Подставим в первое равенство

pq+A2qp=A A(A1)=2q.

Так как q простое и 2 тоже, мы можем разделить на два случая:

1) A=2;A1=q

2) A=q;A1=2

Разбираем оба случая, в первом противоречие, а во втором ответ:

p=q=r=3

  0
11 месяца назад #

забыл упомянуть что A6, поэтому случай когда A;A1=1 не разбираем

пред. Правка 2   0
7 дней 6 часов назад #

Пусть p+q+r=x2

x22q=x

x(x1)=2q

x(x1)2=q

a)Пусть x=2k+1

(2k+1)k=q

(Стоит учитывать что q простое число а значит что одно из множителей равна 1)

i)k=1q=3 подходит

ii)2k+1=1k=0,q=0 не подходит

b)пусть x=2k

k(2k1)=q

i)k=1q=1 не подходит

ii)2k1=1q=1не подходит

Получаем что q=3 и x=3 p+r=6

Единственные решения для p,r это p=r=3

А значит решениями являются p=q=r=3

пред. Правка 2   1
1 месяца 1 дней назад #

пред. Правка 2   2
1 месяца 1 дней назад #

пред. Правка 2   1
1 месяца 1 дней назад #