Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Решите уравнение $p+\sqrt{q^2+r}=\sqrt{s^2+t}$ в простых числах. ( А. Васильев )

Комментарий/решение

1)$p$ простое, но разность $\sqrt{s^2+t}-\sqrt{q^2+r}$ четное число , значит $p=2$ , выходит $\sqrt{s^2+t}-\sqrt{q^2+r}=2$ . Положим что $\sqrt{s^2+t}=a, \sqrt{q^2+r}=b$ , тогда $(a-s)(a+s)=t, \ \ (b-q)(b+q)=r$

$a-s<a+s$ так же как и $b-q<b+q$ , значит $a+s=t , b+q=r$ и $a=s+1,b=q+1$

$2s+1=t, \ \ 2q+1=r$

$2+\sqrt{q^2+2q+1 } =\sqrt{2s+1+s^2 } $ , откуда $ q=s-2$ , то есть $t=2s+1, \ s , \ r=2s-3, q = s-2$

$s=5 , \ r=7 , \ q=3 , \ t=11 \ , p=2$

2) Рассмотрим вариант когда , одно из чисел $q,r,s,t$ равна $2$ , пусть $q=2$ , тогда

$ p=\sqrt{s^2+t}-\sqrt{4+r}$ либо $p^2=s^2+4+r+t-2\sqrt{(s^2+t)(4+r)}$ , $p$ - простое и $s^2+4+r+t$ - целое , тогда $\sqrt{(s^2+t)(4+t)}$ так же целое , положим что $ (s^2+t)(4+t) = x^2$ , квадрат целого числа имеет нечетное количество делителей , но выходит что из произведения $(s^2+t)(4+r)=p _ { 1 }^{\alpha} \cdot p _ { 2 }^{\alpha _ { 2 }} \cdot ... \cdot p _ { \beta }^{\alpha_{n}}$ хотя бы одно из степеней $ \alpha _{n}=1$ , то есть имеет четное количество делителей , исключение при единственном случае $r=-3 , s= \pm 3 , t=7 , q=2$ , в случае если $s,t,r=2$ решений нет.

Утверждение "$p$ простое, b_но разность $\sqrt{s^2+t}-\sqrt{q^2+r}$ четное число_b , значит $p=2$" необязательно. Есть вариант что какое-то из чисел $s,t,q,r$ равно двум. Тогда $\sqrt{s^2+t}-\sqrt{q^2+r}$ нечетное и $p$ не равен двум.

да, вы правы!

Ответ :

$(p;q;r;s;t;)=(3;2;5;5;11);(2;3;7;5;11)$

Пусть $p≠2$ тогда

Либо $\sqrt{s^2+t}$ либо $\sqrt{q^2+r}$ будет не четным .

Пусть $s=2$ тогда $\sqrt{4+t}$ не подходит т.к $(2+x)^2=4+4x+x²$ где $t=x(x+4)$ $x=1$ иначе $t$ не будет простым . Значит $t=5$

Чтобы $\sqrt{q^2+r}$ вышел из-под корня , $(q+y)²=q²+2yq+y² \Rightarrow r=y(2q+y)\Rightarrow y=1;r=2q+1$

$\sqrt{q^2+r}=q+1$

$p=3-q-1=2-q$ тут $p≤0$ но $p≥2$ по этому когда $s=2$ уравнение не имеет решение .

$t=2$ не имеет решение так как $\sqrt{s^2+2}$ , и нету полных квадратов , у которых разница в 2 .

С $r=2$ аналогично. Если $q=2$ то , $\sqrt{q^2+r}=3$ $($из-за$\sqrt{q²+r}=q+1$$)$

$p=s-2$ при $p=3$ $(p;q;r;s;t)=(3;2;5;5;11)$ докажем что больше ответов нету при $p≠2;3$ .

$p≠3 \Rightarrow p=3k+1;3k+2$

$1)p=3k+1 \Rightarrow s=3k+3=3(k+1)$ не простое. Значит не может быть .

$2)p=3k+2 \Rightarrow s=3k+4 ; \sqrt{s^2+t},$ по этому $(s+y)²=s²+2sy+y² \Rightarrow t=y(2s+y) \Rightarrow t=2s+1 \Rightarrow t=6k+8+1=3(2k+3)$

не простое , значит не может быть что $p>3$

При $p=2$

Заметим что $q;r;s;t≠2$ и $r=2q+1;t=2s+1$ из за вышеописанного .

$2+q+1=s+1 $

$s=q+2$

$t=2s+1=2q+5$

$r=2q+1$

При $q=3$ ответ $(p;q;r;s;t)=(2;3;7;5;11)$

Докажем что при $q≠3$ нету ответов .

Заметим что $q=3k+1;3k+2$

$1)q=3k+1 \Rightarrow s=3k+3=3(k+1)$ не простое , значит ответов нет

$2)q=3k+2 \Rightarrow t=6k+9=3(2k+3)$ не простое , значит ответов нет

Возведём обе стороны в квадрат и выйдет что $\sqrt{q²+r} целое.$q²+r=a² ,$a-q=1$,$a+q=r$.$r=2q+1$.Используя изначальные уравнение $p+q+1=\sqrt{s²+t}$.Одно из $p,q,s,t$ чётное значит равна двойке.Если p или q 2 то $(p+3)²-s²=t$.$t=2s+1=2p+3$ Одно из $p,s,r$ делиться на 3 p наименьший значит оно 3 $s=5,t=11,q=2,r=5$.Для $p=2$ аналогично.Если $s=2$ to $t=(p+q-1)(p+q+3)=t$.$p+q=2$ противоречие.$t=2$ togda

$s²=(p+q+1)²-2$.Esli p ,q nechetnie to p² pri delenii na 4 daet 3 protivorechie.A sluchai p ili q =2 uzhe razobran