Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс
Комментарий/решение:
1)p простое, но разность √s2+t−√q2+r четное число , значит p=2 , выходит √s2+t−√q2+r=2 . Положим что √s2+t=a,√q2+r=b , тогда (a−s)(a+s)=t, (b−q)(b+q)=r
a−s<a+s так же как и b−q<b+q , значит a+s=t,b+q=r и a=s+1,b=q+1
2s+1=t, 2q+1=r
2+√q2+2q+1=√2s+1+s2 , откуда q=s−2 , то есть t=2s+1, s, r=2s−3,q=s−2
s=5, r=7, q=3, t=11 ,p=2
2) Рассмотрим вариант когда , одно из чисел q,r,s,t равна 2 , пусть q=2 , тогда
p=√s2+t−√4+r либо p2=s2+4+r+t−2√(s2+t)(4+r) , p - простое и s2+4+r+t - целое , тогда √(s2+t)(4+t) так же целое , положим что (s2+t)(4+t)=x2 , квадрат целого числа имеет нечетное количество делителей , но выходит что из произведения (s2+t)(4+r)=pα1⋅pα22⋅...⋅pαnβ хотя бы одно из степеней αn=1 , то есть имеет четное количество делителей , исключение при единственном случае r=−3,s=±3,t=7,q=2 , в случае если s,t,r=2 решений нет.
Ответ :
(p;q;r;s;t;)=(3;2;5;5;11);(2;3;7;5;11)
Пусть p≠2 тогда
Либо √s2+t либо √q2+r будет не четным .
Пусть s=2 тогда √4+t не подходит т.к (2+x)^2=4+4x+x² где t=x(x+4) x=1 иначе t не будет простым . Значит t=5
Чтобы \sqrt{q^2+r} вышел из-под корня , (q+y)²=q²+2yq+y² \Rightarrow r=y(2q+y)\Rightarrow y=1;r=2q+1
\sqrt{q^2+r}=q+1
p=3-q-1=2-q тут p≤0 но p≥2 по этому когда s=2 уравнение не имеет решение .
t=2 не имеет решение так как \sqrt{s^2+2} , и нету полных квадратов , у которых разница в 2 .
С r=2 аналогично. Если q=2 то , \sqrt{q^2+r}=3 (из-за\sqrt{q²+r}=q+1)
p=s-2 при p=3 (p;q;r;s;t)=(3;2;5;5;11) докажем что больше ответов нету при p≠2;3 .
p≠3 \Rightarrow p=3k+1;3k+2
1)p=3k+1 \Rightarrow s=3k+3=3(k+1) не простое. Значит не может быть .
2)p=3k+2 \Rightarrow s=3k+4 ; \sqrt{s^2+t}, по этому (s+y)²=s²+2sy+y² \Rightarrow t=y(2s+y) \Rightarrow t=2s+1 \Rightarrow t=6k+8+1=3(2k+3)
не простое , значит не может быть что p>3
При p=2
Заметим что q;r;s;t≠2 и r=2q+1;t=2s+1 из за вышеописанного .
2+q+1=s+1
s=q+2
t=2s+1=2q+5
r=2q+1
При q=3 ответ (p;q;r;s;t)=(2;3;7;5;11)
Докажем что при q≠3 нету ответов .
Заметим что q=3k+1;3k+2
1)q=3k+1 \Rightarrow s=3k+3=3(k+1) не простое , значит ответов нет
2)q=3k+2 \Rightarrow t=6k+9=3(2k+3) не простое , значит ответов нет
Возведём обе стороны в квадрат и выйдет что \sqrt{q²+r} целое.q²+r=a² ,a-q=1,a+q=r.r=2q+1.Используя изначальные уравнение p+q+1=\sqrt{s²+t}.Одно из p,q,s,t чётное значит равна двойке.Если p или q 2 то (p+3)²-s²=t.t=2s+1=2p+3 Одно из p,s,r делиться на 3 p наименьший значит оно 3 s=5,t=11,q=2,r=5.Для p=2 аналогично.Если s=2 to t=(p+q-1)(p+q+3)=t.p+q=2 противоречие.t=2 togda
s²=(p+q+1)²-2.Esli p ,q nechetnie to p² pri delenii na 4 daet 3 protivorechie.A sluchai p ili q =2 uzhe razobran
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.