Processing math: 41%

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Решите уравнение p+q2+r=s2+t в простых числах. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   6
8 года 4 месяца назад #

1)p простое, но разность s2+tq2+r четное число , значит p=2 , выходит s2+tq2+r=2 . Положим что s2+t=a,q2+r=b , тогда (as)(a+s)=t,  (bq)(b+q)=r

as<a+s так же как и bq<b+q , значит a+s=t,b+q=r и a=s+1,b=q+1

2s+1=t,  2q+1=r

2+q2+2q+1=2s+1+s2 , откуда q=s2 , то есть t=2s+1, s, r=2s3,q=s2

s=5, r=7, q=3, t=11 ,p=2

2) Рассмотрим вариант когда , одно из чисел q,r,s,t равна 2 , пусть q=2 , тогда

p=s2+t4+r либо p2=s2+4+r+t2(s2+t)(4+r) , p - простое и s2+4+r+t - целое , тогда (s2+t)(4+t) так же целое , положим что (s2+t)(4+t)=x2 , квадрат целого числа имеет нечетное количество делителей , но выходит что из произведения (s2+t)(4+r)=pα1pα22...pαnβ хотя бы одно из степеней αn=1 , то есть имеет четное количество делителей , исключение при единственном случае r=3,s=±3,t=7,q=2 , в случае если s,t,r=2 решений нет.

  5
8 года 4 месяца назад #

Утверждение "p простое, b_но разность s2+tq2+r четное число_b , значит p=2" необязательно. Есть вариант что какое-то из чисел s,t,q,r равно двум. Тогда s2+tq2+r нечетное и p не равен двум.

  2
8 года 4 месяца назад #

да, вы правы!

пред. Правка 3   0
1 года 8 месяца назад #

Ответ :

(p;q;r;s;t;)=(3;2;5;5;11);(2;3;7;5;11)

Пусть p2 тогда

Либо s2+t либо q2+r будет не четным .

Пусть s=2 тогда 4+t не подходит т.к (2+x)^2=4+4x+x² где t=x(x+4) x=1 иначе t не будет простым . Значит t=5

Чтобы \sqrt{q^2+r} вышел из-под корня , (q+y)²=q²+2yq+y² \Rightarrow r=y(2q+y)\Rightarrow y=1;r=2q+1

\sqrt{q^2+r}=q+1

p=3-q-1=2-q тут p≤0 но p≥2 по этому когда s=2 уравнение не имеет решение .

t=2 не имеет решение так как \sqrt{s^2+2} , и нету полных квадратов , у которых разница в 2 .

С r=2 аналогично. Если q=2 то , \sqrt{q^2+r}=3 (из-за\sqrt{q²+r}=q+1)

p=s-2 при p=3 (p;q;r;s;t)=(3;2;5;5;11) докажем что больше ответов нету при p≠2;3 .

p≠3 \Rightarrow p=3k+1;3k+2

1)p=3k+1 \Rightarrow s=3k+3=3(k+1) не простое. Значит не может быть .

2)p=3k+2 \Rightarrow s=3k+4 ; \sqrt{s^2+t}, по этому (s+y)²=s²+2sy+y² \Rightarrow t=y(2s+y) \Rightarrow t=2s+1 \Rightarrow t=6k+8+1=3(2k+3)

не простое , значит не может быть что p>3

При p=2

Заметим что q;r;s;t≠2 и r=2q+1;t=2s+1 из за вышеописанного .

2+q+1=s+1

s=q+2

t=2s+1=2q+5

r=2q+1

При q=3 ответ (p;q;r;s;t)=(2;3;7;5;11)

Докажем что при q≠3 нету ответов .

Заметим что q=3k+1;3k+2

1)q=3k+1 \Rightarrow s=3k+3=3(k+1) не простое , значит ответов нет

2)q=3k+2 \Rightarrow t=6k+9=3(2k+3) не простое , значит ответов нет

пред. Правка 2   3
1 года 7 месяца назад #

Возведём обе стороны в квадрат и выйдет что \sqrt{q²+r} целое.q²+r=a² ,a-q=1,a+q=r.r=2q+1.Используя изначальные уравнение p+q+1=\sqrt{s²+t}.Одно из p,q,s,t чётное значит равна двойке.Если p или q 2 то (p+3)²-s²=t.t=2s+1=2p+3 Одно из p,s,r делиться на 3 p наименьший значит оно 3 s=5,t=11,q=2,r=5.Для p=2 аналогично.Если s=2 to t=(p+q-1)(p+q+3)=t.p+q=2 противоречие.t=2 togda

s²=(p+q+1)²-2.Esli p ,q nechetnie to p² pri delenii na 4 daet 3 protivorechie.A sluchai p ili q =2 uzhe razobran