Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Утверждение задачи верно. Докажем это. Пусть I "--- центр данной окружности. Введём обозначения ∠A=2α, ∠B=2β, ∠C=2γ, ∠D=2δ и r=d2. Имеем: AB=r(ctgα+ctgβ)=rsin(α+β)sinαsinβ, CD=r(ctgγ+ctgδ)=rsin(γ+δ)sinγsinδ, KL=2rsin(α+β). Вычислим среднее гармоническое и среднее геометрическое отрезков AB и CD: 21AB+1CD=2rsin(α+β)sinαsinβ+sinγsinδ==2rsin(α+β)12(cos(α−β)−cos(α+β))+12(cos(γ−δ)−cos(γ+δ))==2rsin(α+β)12(cos(α−β)+cos(γ−δ)); √AB⋅CD=rsin(α+β)√sinαsinβsinγsinδ==rsin(α+β)√14(cos(α−β)−cos(α+β))(cos(γ−δ)−cos(γ+δ)). Тогда, условие равенства 21AB+1CD=KL эквивалентна равенству 12(cos(α−β)+cos(γ−δ))=1. Последнее условие эквивалентно системе {AB∥CD,AD=BC. Также, равенство √AB⋅CD=2r эквивалентно sin2(α+β)(cos(α−β)−cos(α+β))=(cos(γ−δ)−cos(γ+δ)). Из этого равенства можно получить следующие неравенства: sin2(α+β)(cos(α−β)−cos(α+β))=(cos(γ−δ)−cos(γ+δ))≤1+cos(α+β) и (cos(α−β)−cos(α+β))≥2sin2(α+β)2=1−cos(α+β). Как видим, равенство √AB⋅CD=2r эквивалентно системе {AB∥CD,AD=BC, что завершает доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.