Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс


Окружность диаметра d вписана в выпуклый четырёхугольник ABCD и касается сторон BC и DA в точках K и L соответственно. Докажите или опровергните следующее утверждение: среднее гармоническое сторон AB и CD равно отрезку KL тогда, и только тогда, когда среднее геометрическое сторон AB и CD равно d. (Средним гармоническим положительных чисел a и b называется число 21a+1b, а средним геометрическим — число ab.) ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Утверждение задачи верно. Докажем это. Пусть I "--- центр данной окружности. Введём обозначения A=2α, B=2β, C=2γ, D=2δ и r=d2. Имеем: AB=r(ctgα+ctgβ)=rsin(α+β)sinαsinβ, CD=r(ctgγ+ctgδ)=rsin(γ+δ)sinγsinδ, KL=2rsin(α+β). Вычислим среднее гармоническое и среднее геометрическое отрезков AB и CD: 21AB+1CD=2rsin(α+β)sinαsinβ+sinγsinδ==2rsin(α+β)12(cos(αβ)cos(α+β))+12(cos(γδ)cos(γ+δ))==2rsin(α+β)12(cos(αβ)+cos(γδ)); ABCD=rsin(α+β)sinαsinβsinγsinδ==rsin(α+β)14(cos(αβ)cos(α+β))(cos(γδ)cos(γ+δ)). Тогда, условие равенства 21AB+1CD=KL эквивалентна равенству 12(cos(αβ)+cos(γδ))=1. Последнее условие эквивалентно системе {ABCD,AD=BC. Также, равенство ABCD=2r эквивалентно sin2(α+β)(cos(αβ)cos(α+β))=(cos(γδ)cos(γ+δ)). Из этого равенства можно получить следующие неравенства: sin2(α+β)(cos(αβ)cos(α+β))=(cos(γδ)cos(γ+δ))1+cos(α+β) и (cos(αβ)cos(α+β))2sin2(α+β)2=1cos(α+β). Как видим, равенство ABCD=2r эквивалентно системе {ABCD,AD=BC, что завершает доказательство.