Processing math: 100%

Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс


Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1.  Докажите, что для любого натурального числа n справедливо неравенство 122+132++1(n+1)2<n(1n12).
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Решите уравнение xyyx=(x+y)z в натуральных числах x,y,z.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Прямоугольник вписан в треугольник, если все его вершины лежат на сторонах треугольника. Докажите, что геометрическим местом центров (точек пересечения диагоналей) всех вписанных в данный остроугольный треугольник прямоугольников являются три пересекающихся в одной точке незамкнутых отрезка.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть n — натуральное число. Через Pk(n) обозначим произведение всех его делителей, кратных k (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение P1(n)P2(n)Pn(n) является квадратом некоторого натурального числа.
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите количество перестановок (x1,x2,,xn) набора (1,2,,n), удовлетворяющих условиям xi<xi+2 при 1in2, xi<xi+3 при 1in3. Здесь n4.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Окружность диаметра d вписана в выпуклый четырёхугольник ABCD и касается сторон BC и DA в точках K и L соответственно. Докажите или опровергните следующее утверждение: среднее гармоническое сторон AB и CD равно отрезку KL тогда, и только тогда, когда среднее геометрическое сторон AB и CD равно d. (Средним гармоническим положительных чисел a и b называется число 21a+1b, а средним геометрическим — число ab.) ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)