Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Докажите, что для любого натурального числа n справедливо неравенство
122+132+…+1(n+1)2<n(1−n√12).
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Прямоугольник вписан в треугольник, если все его вершины лежат на сторонах треугольника. Докажите, что геометрическим местом центров (точек пересечения диагоналей) всех вписанных в данный остроугольный треугольник прямоугольников являются три пересекающихся в одной точке незамкнутых отрезка.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть n — натуральное число. Через Pk(n) обозначим произведение всех его делителей, кратных k (пустое произведение равно 1). Докажите, что произведение P1(n)⋅P2(n)⋅⋯⋅Pn(n) является квадратом некоторого натурального числа.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите количество перестановок (x1,x2,…,xn) набора (1,2,…,n), удовлетворяющих условиям xi<xi+2 при 1≤i≤n−2, xi<xi+3 при 1≤i≤n−3. Здесь n≥4.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Окружность диаметра d вписана в выпуклый четырёхугольник ABCD и касается сторон BC и DA в точках K и L соответственно. Докажите или опровергните следующее утверждение: среднее гармоническое сторон AB и CD равно отрезку KL тогда, и только тогда, когда среднее геометрическое сторон AB и CD равно d. (Средним гармоническим положительных чисел a и b называется число 21a+1b, а средним геометрическим — число √ab.)
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)