Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс

Решите уравнение $x^y \cdot y^x = (x+y)^z$ в натуральных числах $x,y,z$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $x=y={{2}^{{{2}^{n}}-1}}$, $z=({{2}^{n}}-1){{2}^{{{2}^{n}}-n}}$, где $n$ — любое натуральное число.
Решение. При $z\geq x+y$ уравнение не имеет решений. Действительно, в этом случае имеем: $${{(x+y)}^{z}}\geq {{(x+y)}^{x+y}}={{(x+y)}^{y}}\cdot {{(x+y)}^{x}} > {{x}^{y}}\cdot {{y}^{x}}. $$ Пусть теперь $z < x+y$ и НОД$(x,y)=d$ (для краткости будем писать $(x,y)=d$). Тогда $x=d{{x}_{1}}$ и $y=d{{y}_{1}}$, где ${{x}_{1}}$ и ${{y}_{1}}$ — взаимно простые натуральные числа. Тогда уравнение можно переписать в виде $$ {{d}^{x+y-z}}\cdot x_{1}^{y}\cdot y_{1}^{x}={{({{x}_{1}}+{{y}_{1}})}^{z}}. \quad (1) $$ Левая часть уравнения (1) делится на ${{x}_{1}}$. Поэтому скобка $({{x}_{1}}+{{y}_{1}})$ в правой части также должна делиться на ${{x}_{1}}$, то есть ${{y}_{1}}$ делится на ${{x}_{1}}$, что возможно только при ${{x}_{1}}=1$, ввиду взаимной простоты ${{x}_{1}}$ и ${{y}_{1}}$. Аналогично, ${{y}_{1}}=1$. Следовательно, $x=y=d$ и уравнение (1) уже имеет вид ${{d}^{2d-z}}={{2}^{z}}$. Тогда понятно, что $d$ — степень двойки: $d={{2}^{k}}$ и $k({{2}^{k+1}}-z)=z$, откуда $z=\dfrac{k\cdot {{2}^{k+1}}}{k+1}$. Так как $(k,k+1)=1$, то $k+1={{2}^{n}}$ для некоторого натурального $n$, то есть $z=({{2}^{n}}-1)\cdot {{2}^{{{2}^{n}}-n}}$, $x=y=d={{2}^{k}}={{2}^{{{2}^{n}}-1}}$. Проверкой можно убедиться, что найденные значения $x,y,z$ удовлетворяют условию задачи.