Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. x=y=22n−1, z=(2n−1)22n−n, где n — любое натуральное число.
Решение. При z≥x+y уравнение не имеет решений. Действительно, в этом случае имеем:
(x+y)z≥(x+y)x+y=(x+y)y⋅(x+y)x>xy⋅yx.
Пусть теперь z<x+y и НОД(x,y)=d (для краткости будем писать (x,y)=d). Тогда x=dx1 и y=dy1, где x1 и y1 — взаимно простые натуральные числа. Тогда уравнение можно переписать в виде
dx+y−z⋅xy1⋅yx1=(x1+y1)z.(1)
Левая часть уравнения (1) делится на x1. Поэтому скобка (x1+y1) в правой части также должна делиться на x1, то есть y1 делится на x1, что возможно только при x1=1, ввиду взаимной простоты x1 и y1. Аналогично, y1=1. Следовательно, x=y=d и уравнение (1) уже имеет вид d2d−z=2z. Тогда понятно, что d — степень двойки: d=2k и k(2k+1−z)=z, откуда z=k⋅2k+1k+1. Так как (k,k+1)=1, то k+1=2n для некоторого натурального n, то есть z=(2n−1)⋅22n−n, x=y=d=2k=22n−1. Проверкой можно убедиться, что найденные значения x,y,z удовлетворяют условию задачи.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.