Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып


xyyx=(x+y)z теңдеуін x, y, z натурал сандар жиынында шешіңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. x=y=22n1, z=(2n1)22nn, где n — любое натуральное число.
Решение. При zx+y уравнение не имеет решений. Действительно, в этом случае имеем: (x+y)z(x+y)x+y=(x+y)y(x+y)x>xyyx. Пусть теперь z<x+y и НОД(x,y)=d (для краткости будем писать (x,y)=d). Тогда x=dx1 и y=dy1, где x1 и y1 — взаимно простые натуральные числа. Тогда уравнение можно переписать в виде dx+yzxy1yx1=(x1+y1)z.(1) Левая часть уравнения (1) делится на x1. Поэтому скобка (x1+y1) в правой части также должна делиться на x1, то есть y1 делится на x1, что возможно только при x1=1, ввиду взаимной простоты x1 и y1. Аналогично, y1=1. Следовательно, x=y=d и уравнение (1) уже имеет вид d2dz=2z. Тогда понятно, что d — степень двойки: d=2k и k(2k+1z)=z, откуда z=k2k+1k+1. Так как (k,k+1)=1, то k+1=2n для некоторого натурального n, то есть z=(2n1)22nn, x=y=d=2k=22n1. Проверкой можно убедиться, что найденные значения x,y,z удовлетворяют условию задачи.