Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Кез-келген натурал $n$ саны үшін $\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\ldots +\frac{1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}} < n\left( 1-\sqrt[n]{\frac{1}{2}} \right)$ теңсіздігі дұрыс екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. ${{x}^{y}} \cdot {{y}^{x}}={{\left( x+y \right)}^{z}}$ теңдеуін $x$, $y$, $z$ натурал сандар жиынында шешіңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Тіктөртбұрыш үшбұрышқа іштей сызылған деп аталады, егер тіктөртбұрыштың барлық төбелері үшбұрыш қабырғаларында жатса. Берілген сүйір бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған барлық тіктөрбұрыштардың центрлерінің (диагональдардың қиылысу нүктесі) геометриялық жиынтығы бір нүктеде қиылысатын үш тұйықталмаған түзу екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $n$ натурал сан болсын. ${{P}_{k}}\left( n \right)$ деп $n$ санының $k$ санына бөлінетін бөлгіштерінің көбейтіндісін белгілейік (бос көбейтінді 1-ге тең). ${{P}_{1}}\left( n \right)\cdot {{P}_{2}}\left( n \right)\cdot \ldots \cdot {{P}_{n}}\left( n \right)$ көбейтіндісі натурал санның квадраты болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $\left( 1,2,\ldots ,n \right)$ жиынының ${{x}_{i}} < {{x}_{i+2}}$ ($1\le i\le n-2$ үшін) және ${{x}_{i}} < {{x}_{i+3}}$ ($1\le i\le n-3$ үшін) шарттары орындалатындай $\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{n}} \right)$ ауыстырылымдарының санын табыңыз. Бұл жерде $n\ge 4$.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. $ABCD$ дөңес төртбұрышына диаметрі $d$ болатын шеңбер іштей сызылған. Шеңбер төртбұрыштың $BC$ және $DA$ қабырғаларын сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелерінде жанайды. Келесі тұжырымды дәлелдеңіз немесе жоққа шығарыңыз: $AB$ және $CD$ гармониялық ортасы $KL$ кесіндісіне тең болады сонда және тек қана сонда, егер $AB$ және $CD$ геометриялық ортасы $d$-ға тең болса. ($a$ және $b$ оң сандарының гармониялық ортасы деп — $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ санын айтамыз, ал геометриялық ортасы деп - $\sqrt{ab}$ санын айтамыз). ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)