Математикадан облыстық олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, 11 сынып
Кез-келген натурал n саны үшін 122+132+…+1(n+1)2<n(1−n√12) теңсіздігі дұрыс екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Неравенство можно переписать в следующем виде: S=(1−122)+(1−132)+…+(1−1(n+1)2)>nn√12 Из соотношения между средними следует, что S=1⋅32⋅2+2⋅43⋅3+…+n⋅(n+2)(n+1)⋅(n+1)≥nn√n+22(n+1). Так как верна следующая цепочка неравенств: nn√n+22(n+1)>nn√12⇔n+22(n+1)>12⇔n+2>n+1, то S≥nn√n+22(n+1)>nn√12
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.