Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс

Докажите, что для любого натурального числа $n$ справедливо неравенство $$\dfrac{1}{{2^2 }} + \dfrac{1}{{3^2 }} + \ldots + \dfrac{1}{{(n + 1)^2 }} < n\left( {1 - \sqrt[n]{{\dfrac{1}{2}}}} \right).$$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Неравенство можно переписать в следующем виде: $$S = \left( {1 - \dfrac{1}{{2^2 }}} \right) + \left( {1 - \dfrac{1}{{3^2 }}} \right) + \ldots + \left( {1 - \dfrac{1}{{(n + 1)^2 }}} \right) > n\sqrt[n]{{\dfrac{1}{2}}}$$ Из соотношения между средними следует, что $$S = \dfrac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 2}} + \dfrac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 3}} + \ldots + \dfrac{{n \cdot (n + 2)}}{{(n + 1) \cdot (n + 1)}} \geq n\sqrt[n]{{\dfrac{{n + 2}}{{2(n + 1)}}}}.$$ Так как верна следующая цепочка неравенств: $$n\sqrt[n]{{\dfrac{{n + 2}}{{2(n + 1)}}}} > n\sqrt[n]{{\dfrac{1}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{n + 2}}{{2(n + 1)}} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow n + 2 > n + 1,$$ то $$S \geq n\sqrt[n]{{\dfrac{{n + 2}}{{2(n + 1)}}}} > n\sqrt[n]{{\dfrac{1}{2}}}$$