Областная олимпиада по математике, 2015 год, 11 класс

Окружность диаметра $d$ вписана в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ и касается сторон $BC$ и $DA$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите или опровергните следующее утверждение: среднее гармоническое сторон $AB$ и $CD$ равно отрезку $KL$ тогда, и только тогда, когда среднее геометрическое сторон $AB$ и $CD$ равно $d$. (Средним гармоническим положительных чисел $a$ и $b$ называется число $\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$, а средним геометрическим — число $\sqrt{ab}$.) ( А. Васильев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Утверждение задачи верно. Докажем это. Пусть $I$ "--- центр данной окружности. Введём обозначения $\angle A=2\alpha$, $\angle B=2\beta$, $\angle C=2\gamma$, $\angle D=2\delta $ и $r=\frac{d}{2}$. Имеем: $AB=r\left( {\mathop{\hbox{ctg}}\nolimits} \alpha +{\mathop{\hbox{ctg}}\nolimits} \beta \right)=r\frac{\sin\left( \alpha +\beta \right)}{\sin\alpha \sin\beta }$, $CD=r\left( {\mathop{\hbox{ctg}}\nolimits} \gamma +{\mathop{\hbox{ctg}}\nolimits} \delta \right)=r\frac{\sin\left( \gamma +\delta \right)}{\sin\gamma \sin\delta }$, $KL=2r\sin\left( \alpha +\beta \right)$. Вычислим среднее гармоническое и среднее геометрическое отрезков $AB$ и $CD$: \begin{multline*} \frac{2}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}}=\frac{2r\sin\left( \alpha +\beta \right)}{\sin\alpha \sin\beta +\sin\gamma \sin\delta }=\\ =\frac{2r\sin\left( \alpha +\beta \right)}{\frac{1}{2}\left( \cos\left( \alpha -\beta \right)-\cos\left( \alpha +\beta \right) \right)+\frac{1}{2}\left( \cos\left( \gamma -\delta \right)-\cos\left( \gamma +\delta \right) \right)}=\\ =\frac{2r\sin\left( \alpha +\beta \right)}{\frac{1}{2}\left( \cos\left( \alpha -\beta \right)+\cos\left( \gamma -\delta \right) \right)}; \end{multline*} \begin{multline*} \sqrt{AB\cdot CD}=\frac{r\sin\left( \alpha +\beta \right)}{\sqrt{\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma \sin\delta }}=\\ =\frac{r\sin\left( \alpha +\beta \right)}{\sqrt{\frac{1}{4}\left( \cos\left( \alpha -\beta \right)-\cos\left( \alpha +\beta \right) \right)\left( \cos\left( \gamma -\delta \right)-\cos\left( \gamma +\delta \right) \right)}}. \end{multline*} Тогда, условие равенства $\dfrac{2}{\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}}=KL$ эквивалентна равенству $\frac{1}{2}\left( \cos\left( \alpha -\beta \right)+\cos\left( \gamma -\delta \right) \right)=1$. Последнее условие эквивалентно системе $\left\{ \begin{matrix} AB\parallel CD, \\ AD=BC. \\ \end{matrix} \right.$ Также, равенство $\sqrt{ AB \cdot CD} =2r$ эквивалентно $$\frac{\sin^2\left( \alpha +\beta \right)}{\left( \cos\left( \alpha -\beta \right)-\cos\left( \alpha +\beta \right) \right)}=\left( \cos\left( \gamma -\delta \right)-\cos\left( \gamma +\delta \right) \right).$$ Из этого равенства можно получить следующие неравенства: $$\frac{\sin ^2\left( \alpha +\beta \right)}{\left( \cos\left( \alpha -\beta \right)-\cos\left( \alpha +\beta \right) \right)}=\left( \cos\left( \gamma -\delta \right)-\cos\left( \gamma +\delta \right) \right)\le 1+\cos\left( \alpha +\beta \right)$$ и $\left( \cos\left( \alpha -\beta \right)-\cos\left( \alpha +\beta \right) \right)\ge 2\sin ^2\frac{\left( \alpha +\beta \right)}{2}=1-\cos\left( \alpha +\beta \right)$. Как видим, равенство $\sqrt{ AB \cdot CD} =2r$ эквивалентно системе $\left\{ \begin{matrix} AB\parallel CD, \\ AD=BC, \\ \end{matrix} \right.$ что завершает доказательство.