Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс
Задача №1. Действительные числа a, b, c, d удовлетворяют следующим условиям:
i) a≠b, b≠c, c≠d, d≠a;
ii) 1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−d)2+1(d−a)2=1.
Найдите минимум выражения a2+b2+c2+d2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)
i) a≠b, b≠c, c≠d, d≠a;
ii) 1(a−b)2+1(b−c)2+1(c−d)2+1(d−a)2=1.
Найдите минимум выражения a2+b2+c2+d2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)
Задача №2. Дан треугольник ABC, около которого описана окружность ω.
Точки D и D1, лежащие на прямой AC, симметричны друг другу относительно середины AC. Пусть
BD и BD1 во второй раз пересекают ω в точках E и E1, соответственно.
Докажите, что все такие прямые EE1 проходят через фиксированную точку плоскости.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Существуют ли натуральные числа a и b такие, что для каждого натурального n
числа an+nb и bn+na взаимно просты?
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Из доски 2n×2n (n≥3) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере 34n−3 различными способами.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Около неравнобедренного треугольника ABC описана окружность ω, точка M — середина AC.
Касательная к ω в точке B пересекает прямую AC в точке N, а прямая BM повторно
пересекает ω в точке L. Пусть точка P симметрична точке L относительно M. Окружность, описанная около треугольника BPN, повторно пересекает прямую AN в точке Q. Докажите, что ∠ABP=∠QBC.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(13)
комментарий/решение(13)
Задача №6. Докажите, что для любого натурального n на отрезке
[n−4√n, n+4√n] найдется число, представимое в виде x3+y3, где x и y — неотрицательные целые числа.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)