Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс


Задача №1.  Действительные числа a, b, c, d удовлетворяют следующим условиям:
i) ab, bc, cd, da;
ii) 1(ab)2+1(bc)2+1(cd)2+1(da)2=1.
Найдите минимум выражения a2+b2+c2+d2. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4)
Задача №2.  Дан треугольник ABC, около которого описана окружность ω. Точки D и D1, лежащие на прямой AC, симметричны друг другу относительно середины AC. Пусть BD и BD1 во второй раз пересекают ω в точках E и E1, соответственно. Докажите, что все такие прямые EE1 проходят через фиксированную точку плоскости.
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Существуют ли натуральные числа a и b такие, что для каждого натурального n числа an+nb и bn+na взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Из доски 2n×2n (n3) вырезали одну клетку. Докажите, что оставшуюся часть доски можно покрыть без наложений уголками из 3-х клеток по крайней мере 34n3 различными способами. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение
Задача №5.  Около неравнобедренного треугольника ABC описана окружность ω, точка M — середина AC. Касательная к ω в точке B пересекает прямую AC в точке N, а прямая BM повторно пересекает ω в точке L. Пусть точка P симметрична точке L относительно M. Окружность, описанная около треугольника BPN, повторно пересекает прямую AN в точке Q. Докажите, что ABP=QBC. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(13)
Задача №6.  Докажите, что для любого натурального n на отрезке [n4n, n+4n] найдется число, представимое в виде x3+y3, где x и y — неотрицательные целые числа. ( А. Васильев )
комментарий/решение(4)
результаты